Exercício 8.9 Obtenha uma representação em série de potências (de Taylor) para cada uma das seguintes funçōes, a partir dos desenvolvimentos conhecidos das funçöes exponencial, seno, co-seno e
. Em cada caso, indique o maior conjunto onde é válida a representação.
3.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de potências (série de Taylor) para a função hiperbólica
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função hiperbólica seno, que é similar à série do seno que a gente aprende em trigonometria, mas adaptada para funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a série de Taylor para
. A série de Taylor de uma função em torno de 0 (série de Maclaurin) é uma soma infinita que representa a função como uma combinação de potências de
. No caso da função hiperbólica seno, a série é:
Isso significa que podemos escrever
como
e assim por diante.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Para isso, vamos substituir
por
na série que acabamos de ver. Ficaria assim:
Vamos simplificar um pouco:
Isso quer dizer que a série de
é
e assim por diante.
Passo 4
Por último, precisamos indicar para quais valores de
essa série é válida, ou seja, o maior conjunto onde a série converge. Sabemos que a série de
converge para todo valor real de
. Como substituímos
por
, a série de
também converge para todo valor real de
. Portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais,
.
Resposta
A representação em série de potências (série de Taylor) para
é:
Essa série é válida para todo número real
, ou seja, para
.