Exercício 8.9 Obtenha uma representação em série de potências (de Taylor) para cada uma das seguintes funçōes, a partir dos desenvolvimentos conhecidos das funçöes exponencial, seno, co-seno e 11-x. Em cada caso, indique o maior conjunto onde é válida a representação.
3. senh(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de potências (série de Taylor) para a função hiperbólica senh(3x). Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função hiperbólica seno, que é similar à série do seno que a gente aprende em trigonometria, mas adaptada para funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a série de Taylor para senh(x). A série de Taylor de uma função em torno de 0 (série de Maclaurin) é uma soma infinita que representa a função como uma combinação de potências de x. No caso da função hiperbólica seno, a série é:
senh(x) = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)!
Isso significa que podemos escrever senh(x) como x + x^33! + x^55! + dots e assim por diante.

Passo 3

Agora, queremos a série para senh(3x). Para isso, vamos substituir x por 3x na série que acabamos de ver. Ficaria assim:
senh(3x) = sumn=0^infty (3x)^2n+1(2n+1)!
Vamos simplificar um pouco:
senh(3x) = sumn=0^infty 3^2n+1 cdot x^2n+1(2n+1)!
Isso quer dizer que a série de senh(3x) é 3x + 27x^33! + 243x^55! + dots e assim por diante.

Passo 4

Por último, precisamos indicar para quais valores de x essa série é válida, ou seja, o maior conjunto onde a série converge. Sabemos que a série de senh(x) converge para todo valor real de x. Como substituímos x por 3x, a série de senh(3x) também converge para todo valor real de x. Portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais, R.

Resposta

A representação em série de potências (série de Taylor) para senh(3x) é:
senh(3x) = sumn=0^infty 3^2n+1 cdot x^2n+1(2n+1)!
Essa série é válida para todo número real x, ou seja, para x in R.

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