Exercício 8.12 Calcule a soma das séries indicadas (a soma corresponde a f(a), onde a é um número óbvio e f é dada por uma série de potências. Em geral, a série deverá ser manipulada até se encontrar uma série de potências conhecida):
3. sumn=0^+infty 13^n(n+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumn=0^infty 13^n(n+1). O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar a expansão conhecida da função -ln(1-x) para encontrar essa soma.

Passo 2

Começamos com a série geométrica e a integramos. Para |x|<1, sabemos que
sumn=0^infty x^n = 11-x

Passo 3

Integrando termo a termo de 0 a x:
integral0^x sumn=0^infty t^n ,dt = sumn=0^infty integral0^x t^n ,dt = sumn=0^infty x^n+1n+1

Passo 4

Por outro lado,
integral0^x 11-t ,dt = -ln(1-x)

Passo 5

Logo, igualando as duas expressões:
sumn=0^infty x^n+1n+1 = -ln(1-x)

Passo 6

Dividindo ambos os lados por x (e observando que xneq0 dentro do raio de convergência), obtemos:
sumn=0^infty x^nn+1 = -1xln(1-x)

Passo 7

Agora basta escolher x=tfrac13. Então
sumn=0^infty 13^n(n+1) = sumn=0^infty (1/3)^nn+1 = -3lnl(1-tfrac13r) = -3lnl(tfrac23r)

Passo 8

Como -ln(2/3)=ln(3/2), concluímos que a soma é
3lnl(32r)

Resposta

3\ln\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)

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