Exercício 8.12 Calcule a soma das séries indicadas (a soma corresponde a
, onde
é um número óbvio e
é dada por uma série de potências. Em geral, a série deverá ser manipulada até se encontrar uma série de potências conhecida):
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
. O conteúdo principal é séries de potências e vamos usar a expansão conhecida da função
para encontrar essa soma.
Passo 2
Começamos com a série geométrica e a integramos. Para
, sabemos que
Passo 3
Integrando termo a termo de 0 a
:
Passo 4
Por outro lado,
Passo 5
Logo, igualando as duas expressões:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
(e observando que
dentro do raio de convergência), obtemos:
Passo 7
Agora basta escolher
. Então
Passo 8
Como
, concluímos que a soma é
Resposta
3\ln\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)