Exercicio 13.6. Utilize variação dos parametros para resolver
y^prime prime prime-2 y^prime+y^prime-2 y=e^4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação não‐homogênea de 3ª ordem por variação de parâmetros:
y''' - 2y'' + y' - 2y = e^4x,
conteúdo: equações lineares de coeficientes constantes de 3ª ordem e o método de variação de parâmetros; precisaremos da solução homogênea e depois construir uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y''' - 2y'' + y' - 2y = 0
Formamos a equação característica r^3 - 2r^2 + r - 2 = 0. Observando que (r-2)(r^2+1)=0, obtemos as raízes r=2,,r= i,,r=-i.

Passo 3

Daí, o conjunto fundamental da homogênea é
y1 = e^2x,
y2 = ,cos x,
y3 = ,sin x

Passo 4

Para aplicar variação de parâmetros, assumimos
yp = u1(x)e^2x + u2(x)cos x + u3(x)sin x,
com as condições auxiliares
u1'e^2x + u2'cos x + u3'sin x = 0, u1'(2e^2x) + u2'(-sin x) + u3'cos x = 0, u1'(4e^2x) + u2'(-cos x) + u3'(-sin x) = e^4x

Passo 5

Calculemos o Wronskiano W de e^2x,cos x,sin x:

Passo 6

Usando regra de Cramer, obtemos
u1' = e^4x5e^2x = e^2x5,
daí
u1 = integral e^2x5,dx = e^2x10

Passo 7

Para u2' temos
u2' = -e^4x(cos x - 2sin x)5,
integrando-se com as fórmulas
integral e^4xcos x,dx=e^4x17(4cos x+sin x), integral e^4xsin x,dx=e^4x17(4sin x-cos x),
segue
u2 = e^4x(-6cos x+7sin x)85

Passo 8

Para u3' achamos
u3' = -e^4x(sin x+2cos x)5,
e integrando chega-se a
u3 = -e^4x(6sin x+7cos x)85

Passo 9

Por fim, a parte particular é
yp = u1e^2x + u2cos x + u3sin x = e^4x10 + e^4x85l[(-6cos x+7sin x)cos x - (6sin x+7cos x)sin xr] = e^4x34

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1e^2x + C2cos x + C3sin x + e^4x34

Exercícios relacionados