Exercicio 13.6. Utilize variação dos parametros para resolver
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação não‐homogênea de 3ª ordem por variação de parâmetros:
conteúdo: equações lineares de coeficientes constantes de 3ª ordem e o método de variação de parâmetros; precisaremos da solução homogênea e depois construir uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica . Observando que , obtemos as raízes .
Passo 3
Daí, o conjunto fundamental da homogênea é
Passo 4
Para aplicar variação de parâmetros, assumimos
com as condições auxiliares
Passo 5
Calculemos o Wronskiano W de e^2x,cos x,sin x:
Passo 6
Usando regra de Cramer, obtemos
u1' = e^4x5e^2x = e^2x5,
daí
u1 = integral e^2x5,dx = e^2x10
Passo 7
Para u2' temos
u2' = -e^4x(cos x - 2sin x)5,
integrando-se com as fórmulas
integral e^4xcos x,dx=e^4x17(4cos x+sin x), integral e^4xsin x,dx=e^4x17(4sin x-cos x),
segue
u2 = e^4x(-6cos x+7sin x)85
Passo 8
Para u3' achamos
u3' = -e^4x(sin x+2cos x)5,
e integrando chega-se a
u3 = -e^4x(6sin x+7cos x)85
Passo 9
Por fim, a parte particular é
yp = u1e^2x + u2cos x + u3sin x = e^4x10 + e^4x85l[(-6cos x+7sin x)cos x - (6sin x+7cos x)sin xr] = e^4x34