Exercício 13.7. Considere a equação
.
(a) Calcule 3 soluções linearmente independentes.
(a) Calcule 3 soluções linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar três soluções linearmente independentes da equação diferencial de ordem três com coeficientes constantes
. O conteúdo envolvido é o método do polinômio característico e a construção de soluções exponenciais.
Passo 2
Para aplicar o método, assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação dada. Isso leva ao polinômio característico:
Passo 3
Fatoramos o polinômio característico:
As raízes são
,
e
.
Passo 4
Cada raiz
gera uma solução básica
. Portanto temos as três soluções:
Passo 5
Como as raízes são distintas, as exponenciais
e
são linearmente independentes, garantindo as três soluções pedidas.
Resposta
As três soluções linearmente independentes são
,
e
.