Exercício 13.7. Considere a equação y^prime prime prime-4 y^prime=0.
(a) Calcule 3 soluções linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três soluções linearmente independentes da equação diferencial de ordem três com coeficientes constantes y'''-4y'=0. O conteúdo envolvido é o método do polinômio característico e a construção de soluções exponenciais.

Passo 2

Para aplicar o método, assumimos uma solução da forma y=e^rx e substituímos na equação dada. Isso leva ao polinômio característico:
r^3-4r=0

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico:
r^3-4r=r(r^2-4)=r(r-2)(r+2)=0
As raízes são r=0, r=2 e r=-2.

Passo 4

Cada raiz ri gera uma solução básica yi(x)=e^ri x. Portanto temos as três soluções:
y1(x)=e^0,x=1,
y2(x)=e^2x,
y3(x)=e^-2x

Passo 5

Como as raízes são distintas, as exponenciais 1, e^2x e e^-2x são linearmente independentes, garantindo as três soluções pedidas.

Resposta

As três soluções linearmente independentes são
y1(x)=1, y2(x)=e^2x e y3(x)=e^-2x.

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