Exercício 13. Verdadeiro ou falso:
(a) Se U cdot W=V cdot W e W neq 0, então U=V.
(b) Se U times W=V times W e W neq 0, então U=V.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se as afirmações envolvendo produto escalar e produto vetorial em R^n são verdadeiras ou falsas. Vamos usar as propriedades
– do produto escalar:
Ucdot W = Vcdot W ;Longrightarrow;(U - V)cdot W = 0,
– do produto vetorial (em R^3):
Utimes W = Vtimes W ;Longrightarrow;(U - V)times W = 0

Passo 2

Para (a), se (U - V)cdot W = 0 com W neq 0, isso diz apenas que U - V é ortogonal a W, não que U - V = 0. Um contraexemplo em R^2:
W=(1,0), U=(0,1), V=(0,2)
Então
Ucdot W = 0, Vcdot W = 0,
mas Uneq V. Logo, a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Para (b), se (U - V)times W = 0 com W neq 0, isso significa que U - V é paralelo a W, não que U - V = 0. Um contraexemplo em R^3:
W=(0,0,1), U=(1,0,0), V=(1,0,1)
Calculando
Utimes W = (1,0,0)times(0,0,1) = (0,-1,0),
Vtimes W = (1,0,1)times(0,0,1) = (0,-1,0),
mas Uneq V. Logo, a afirmação (b) também é falsa.

Resposta

(a) Falso
(b) Falso

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