Exercício 12. Seja W=(l3 0 4). Escreva o vetor V=(c-1 0 1) com uma soma V1+V2, onde V1 é paralelo a W e V2 é perpendicular a W.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor
V=-101
como soma
V = V1 + V2,
onde V1 é paralelo a
W=304
e V2 é perpendicular a W. Para isso vamos usar a projeção ortogonal de V em W.

Passo 2

Primeiro calculamos os produtos internos
lang<= V,Wrang<= = (-1)cdot3 + 0cdot0 + 1cdot4 = 1,
lang<= W,Wrang<= = 3^2 + 0^2 + 4^2 = 25

Passo 3

A projeção de V sobre W é
V1 = lang<= V,Wrang<=lang<= W,Wrang<=;W = 125304 = 3/2504/25

Passo 4

O componente perpendicular é
V2 = V - V1 = -101 - 3/2504/25 = -1-tfrac32501-tfrac425 = -28/25021/25
Podemos conferir que
lang<= W,V2rang<= = 3cdot(-28/25) + 4cdot(21/25) = 0,
logo V2 é de fato perpendicular a W.

Resposta

V1 = 3/2504/25, V2 = -28/25021/25

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