Problema 35 Resolva, em Re, a equação 2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2=x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação envolvendo radical e frações
2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2=x
O conteúdo principal é equação com expressão racional e radical. Vamos precisar determinar primeiro o domínio de definição e depois simplificar a soma das frações para obter um polinômio.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o radical exista e que os denominadores não sejam zero:
  1. Para raiz2-x^2 estar definido, precisa ter
2 - x^2 >= 0 Longrightarrow - raiz2 <= x <= raiz2
  1. Os denominadores xpmraiz2-x^2 não podem ser zero. As soluções de
x + raiz2-x^2=0 ou x - raiz2-x^2=0
são x=-1 e x=1, respectivamente, que devem ser excluídos.
Portanto o domínio é
D = [-raiz2,raiz2]setminus-1,1

Passo 3

No domínio válido, somamos as frações:
2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2 =2l(x-raiz2-x^2r)+2l(x+raiz2-x^2r)(x+raiz2-x^2)(x-raiz2-x^2)
No numerador fica
2x - 2raiz2-x^2 + 2x + 2raiz2-x^2 = 4x,
e no denominador
(x+raiz2-x^2)(x-raiz2-x^2) = x^2 - (2-x^2) =2x^2 -2 =2(x^2-1)
Logo a equação vira
4x2(x^2-1) = x Long<=ftrightarrow 2xx^2-1=x

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x^2-1 (lembrando que xneqpm1 no domínio), obtém-se
2x = x(x^2-1) Longrightarrow 2x = x^3 - x Longrightarrow x^3 -3x =0 Long<=ftrightarrow x(x^2-3)=0
As raízes candidatas são
x=0, x=pmraiz3

Passo 5

Agora vemos quais estão em D:
  • x=0 pertence a [-raiz2,raiz2] e não é pm1.
  • x=pmraiz3approxpm1,732 não satisfazem |x|<=raiz2.
    Logo a única solução válida é x=0.

Resposta

0

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