Exercício 14. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 8) Seja
dada por
e
.
a) Mostre que
é um vetor na direção de
.
b) Mostre que
, para
positivo.
c) A fórmula do item b) vale quando
é negativo ou zero.
d) Ache uma função tal que
.
a) Mostre que
b) Mostre que
c) A fórmula do item b) vale quando
d) Ache uma função tal que
Passo 1
O enunciado define a função
e o vetor posicional
. Pede-se
a) mostrar que é paralelo a
,
b) usar regra de cadeia para obter quando
,
c) verificar se essa fórmula vale para ,
d) encontrar uma função tal que
.
Para isso vamos usar o operador gradiente, a regra de derivação de composição e integração componente a componente.
a) mostrar que
b) usar regra de cadeia para obter
c) verificar se essa fórmula vale para
d) encontrar uma função
Para isso vamos usar o operador gradiente, a regra de derivação de composição e integração componente a componente.
Passo 2
Calcular
. Note que
logo, por regra da potência e da cadeia,
Analogamente
e
. Portanto
que é um vetor na mesma direção de
.
Passo 3
Para
com
, aplicamos de novo a regra da cadeia a cada componente:
E o mesmo vale para as demais componentes. Logo
Passo 4
Verificamos agora para
e
:
– Se , então
é constante e
. A fórmula dá
– Se
logo válida.
– Se , a derivação formal por cadeia continua válida em
(pois
), e o mesmo cálculo acima produz
.
– Se
Passo 5
Procuramos
tal que
. Isto é,
Integrando a primeira relação em
, obtemos
. Da segunda,
força
. Da terceira,
leva a
. Assim
que satisfaz
.
Resposta
a)
, logo paralelo a
.
b) para
.
c) A mesma expressão vale para (gera o vetor zero) e para
em
.
d) Uma primitiva é , pois
.
b)
c) A mesma expressão vale para
d) Uma primitiva é