Exercício 14. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 8) Seja r: R^3 R dada por r(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 e r=(x, y, z).
a) Mostre que nabla r é um vetor na direção de r.
b) Mostre que nabla(r^n)=n r^n-2 r, para n positivo.
c) A fórmula do item b) vale quando n é negativo ou zero.
d) Ache uma função tal que nabla f=r.

Passo 1

O enunciado define a função
r(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2
e o vetor posicional vec r=(x,y,z). Pede-se
a) mostrar que nabla r é paralelo a vec r,
b) usar regra de cadeia para obter nablal(r^nr) quando n>0,
c) verificar se essa fórmula vale para n<=0,
d) encontrar uma função f tal que nabla f=vec r.
Para isso vamos usar o operador gradiente, a regra de derivação de composição e integração componente a componente.

Passo 2

Calcular nabla r. Note que
r=l(x^2+y^2+z^2r)^1/2,
logo, por regra da potência e da cadeia,
partial rpartial x =tfrac12l(x^2+y^2+z^2r)^-1/2cdot 2x =xraizx^2+y^2+z^2 =xr
Analogamente partial r/partial y=y/r e partial r/partial z=z/r. Portanto
nabla r=l(tfracxr,tfracyr,tfraczrr) =1r,(x,y,z) =1r,vec r,
que é um vetor na mesma direção de vec r.

Passo 3

Para r^n com n>0, aplicamos de novo a regra da cadeia a cada componente:
partialpartial xl(r^nr) =n,r^,n-1,partial rpartial x =n,r^,n-1,xr =n,r^,n-2,x
E o mesmo vale para as demais componentes. Logo
nablal(r^nr) =l(n,r^n-2x,;n,r^n-2y,;n,r^n-2zr) =n,r^,n-2,(x,y,z) =n,r^,n-2,vec r

Passo 4

Verificamos agora para n=0 e n<0:
– Se n=0, então r^0=1 é constante e nabla(r^0)=vec0. A fórmula dá
n,r^n-2,vec r =0cdot r^-2,vec r =vec0,
logo válida.
– Se n<0, a derivação formal por cadeia continua válida em R^3setminus0 (pois rneq0), e o mesmo cálculo acima produz
nabla(r^n)=n,r^n-2,vec r.

Passo 5

Procuramos f tal que nabla f=(x,y,z). Isto é,
partial fpartial x=x, partial fpartial y=y, partial fpartial z=z
Integrando a primeira relação em x, obtemos f=tfracx^22+g(y,z). Da segunda, partial f/partial y=y força g(y,z)=tfracy^22+h(z). Da terceira, partial f/partial z=z leva a h(z)=tfracz^22+C. Assim
f(x,y,z) =x^2+y^2+z^22+C,
que satisfaz nabla f=(x,y,z)=vec r.

Resposta

a) nabla r=1r,(x,y,z)=1r,vec r, logo paralelo a vec r.
b) nablal(r^nr)=n,r^,n-2,vec r para n>0.
c) A mesma expressão vale para n=0 (gera o vetor zero) e para n<0 em R^3setminus0.
d) Uma primitiva é f(x,y,z)=tfrac12(x^2+y^2+z^2)+C, pois nabla f=(x,y,z).

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