Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam
e
funções de
com valores em
(
). Mostre que
.
Passo 1
O enunciado considera uma função diferenciável
que é invertível em cada ponto e pede para mostrarmos que
.
Para isso, vamos usar a relação de identidade e a regra do produto para funções matriciais.
que é invertível em cada ponto e pede para mostrarmos que
Para isso, vamos usar a relação de identidade
Passo 2
Escrevemos a igualdade matricial
válida para todo
.
Passo 3
Derivamos ambos os lados em
. Pelas regras de derivada e do produto temos
Como
, obtemos
Passo 4
Isolando
:
e multiplicando à esquerda por
resulta em