Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam P e Q funções de R com valores em Mn times n ( R ). Mostre que
(Q^-1)^prime=-Q^-1 Q^prime Q^-1.

Passo 1

O enunciado considera uma função diferenciável
Qcolon Rto Mntimes n(R)
que é invertível em cada ponto e pede para mostrarmos que
(Q^-1)' = -,Q^-1 Q' Q^-1.
Para isso, vamos usar a relação de identidade Q(x),Q^-1(x)=I e a regra do produto para funções matriciais.

Passo 2

Escrevemos a igualdade matricial
Q(x),Q^-1(x)=I
válida para todo xinR.

Passo 3

Derivamos ambos os lados em x. Pelas regras de derivada e do produto temos
ddxl(Q(x),Q^-1(x)r) =Q'(x),Q^-1(x)+Q(x),l(Q^-1(x)r)'
Como tfracddxI=0, obtemos
Q'(x),Q^-1(x)+Q(x),(Q^-1)'(x)=0

Passo 4

Isolando (Q^-1)'(x):
Q(x),(Q^-1)'(x)=-,Q'(x),Q^-1(x)
e multiplicando à esquerda por Q^-1(x) resulta em
(Q^-1)'(x)=Q^-1(x)l(-Q'(x),Q^-1(x)r) =-,Q^-1(x),Q'(x),Q^-1(x)

Resposta

(Q^-1)'=-,Q^-1,Q',Q^-1

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