Questão 2 Considere
um campo de vetores de classe
onde
é um subconjunto aberto e
a solução maximal de
definida no intervalo maximal (
). Suponha que
para todo
onde
é um subconjunto compacto. Então o intervalo maximal é ilimitado? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado trata de um campo de vetores
de classe
, e de sua solução maximal
de
definida em
. Sabemos que toda imagem de
fica presa num conjunto compacto
. Queremos mostrar que, sob essas hipóteses, não é possível ter
nem
; em outras palavras, o intervalo maximal é ilimitado em ambos os sentidos.
Passo 2
Como
é de classe
em
e
é compacto, segue que
é Lipschitz em
. Isso significa que existe constante
tal que, para todo
,
Em particular, nessa região não ocorrem “explosões” de vetor campo que impeçam extensão de solução.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
. Como
para todo
e
é compacto, a trajetória
é contínua e confinada em
, logo é uniformemente contínua em
para qualquer
. Assim, o limite
existe e pertence a
.
Passo 4
Como
e
é aberto, existe um raio
tal que a bola
ainda fica dentro de
. Num tal entorno
,
continua sendo Lipschitz, então pelo Teorema de Existência e Unicidade podemos prolongar a solução além de
, contradizendo o fato de
ser o intervalo maximal.
Passo 5
Logo a suposição
falha, e temos
. De modo análogo, não se pode ter
, pois caso contrário construiríamos extensão para tempos anteriores. Concluímos que
Resposta
O intervalo maximal é ilimitado:
.