Questão 2 Considere f: U subset R^n longrightarrow R^n um campo de vetores de classe C^1 onde U é um subconjunto aberto e x(t) a solução maximal de dotx=f(x) definida no intervalo maximal ( alpha, beta ). Suponha que x(t) in K para todo t in(alpha, beta) onde K subset U é um subconjunto compacto. Então o intervalo maximal é ilimitado? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de um campo de vetores ,f:UsubsetR^ntoR^n de classe C^1, e de sua solução maximal x(t) de
dot x = f(x)
definida em (alpha,beta). Sabemos que toda imagem de x(t) fica presa num conjunto compacto Ksubset U. Queremos mostrar que, sob essas hipóteses, não é possível ter beta<+infty nem alpha>-infty; em outras palavras, o intervalo maximal é ilimitado em ambos os sentidos.

Passo 2

Como f é de classe C^1 em U e Ksubset U é compacto, segue que f é Lipschitz em K. Isso significa que existe constante L>0 tal que, para todo x,yin K,
|f(x)-f(y)|<= L,|x-y|
Em particular, nessa região não ocorrem “explosões” de vetor campo que impeçam extensão de solução.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que beta<+infty. Como x(t)in K para todo t<beta e K é compacto, a trajetória x(t) é contínua e confinada em K, logo é uniformemente contínua em [tau,beta) para qualquer tau<beta. Assim, o limite
x^* = limttobeta^-x(t)
existe e pertence a Ksubset U.

Passo 4

Como x^*in U e U é aberto, existe um raio varepsilon>0 tal que a bola B(x^*,varepsilon) ainda fica dentro de U. Num tal entorno B(x^*,varepsilon), f continua sendo Lipschitz, então pelo Teorema de Existência e Unicidade podemos prolongar a solução além de t=beta, contradizendo o fato de (alpha,beta) ser o intervalo maximal.

Passo 5

Logo a suposição beta<+infty falha, e temos beta=+infty. De modo análogo, não se pode ter alpha>-infty, pois caso contrário construiríamos extensão para tempos anteriores. Concluímos que
(alpha,beta)=(-infty,+infty)

Resposta

O intervalo maximal é ilimitado: (alpha,beta)=(-infty,+infty).

Exercícios relacionados