Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam P e Q funções de R com valores em Mn times n ( R ). Mostre que
(P^3)^prime=P^prime P^2+P P^prime P+P^2 P^prime.

Passo 1

O enunciado pede para provar a regra de derivação de uma função matricial PcolonRto Mntimes n(R) ao cubo, ou seja, mostrar que
l(P^3r)' ;=; P',P^2 ;+; P,P',P ;+; P^2,P'
O conteúdo aqui é a regra do produto para funções matriciais: se F,GcolonRto Mntimes n(R), então
(FG)' ;=; F',G;+;F,G'
Vamos usar essa regra duas vezes para lidar com o produto de três matrizes Pcdot Pcdot P.

Passo 2

Escrevemos P^3 como produto de duas funções matriciais:
P^3 = Pcdotl(P^2r)
Aplicando a regra do produto, temos
l(P^3r)' ;=;l(P,P^2r)' ;=;P',l(P^2r);+;P,l(P^2r)'

Passo 3

Agora precisamos de l(P^2r)'. Note que P^2=Pcdot P. De novo pela regra do produto,
l(P^2r)' ;=;l(P,Pr)' ;=;P',P;+;P,P'

Passo 4

Substituímos a expressão de l(P^2r)' em l(P^3r)':
l(P^3r)' ;=;P',P^2 ;+;P,l(P',P+P,P'r)
Distribuindo P no segundo termo,
l(P^3r)' ;=;P',P^2 ;+;P,P',P;+;P^2,P'

Resposta

l(P^3r)' = P',P^2 + P,P',P + P^2,P'

Exercícios relacionados