Questão 5 Considerando os campos de vetores lineares bidimensionais, determine quais são estruturalmente estáveis.
Passo 1
O enunciado trata de campos de vetores lineares em
, dados por
onde
é uma matriz
. Queremos saber para quais
o ponto de equilíbrio na origem é estruturalmente estável. O que precisamos: a noção de ponto hiperbólico (Hartman–Grobman) e as fórmulas de traço e determinante para classificar autovalores.
Passo 2
Seja
Os autovalores de
são
Dependendo de
,
e do discriminante
, o ponto de equilíbrio pode ser nó, sela, foco ou centro.
Passo 3
Critério de estabilidade estrutural (hiperbólico): todas as partes reais dos autovalores devem ser não nulas, isto é,
Em termos de
e
, isso equivale a:
.
autovalores reais de sinais opostos (sela)
.
.
e
- se
, autovalores reais ambos com (nó estável se , instável se ), - se
, autovalores complexos com (foco ou espiral estável/instável).
Casos proibidos (não hiperbólicos):e (centro puro, ) ou (autovalor zero).
Passo 4
Concluímos que os únicos campos estruturalmente estáveis são exatamente aqueles cujos pontos de equilíbrio na origem são hiperbólicos, ou seja:
- Ponto de sela (
), - Nó estável ou instável (
), - Espiral/foco estável ou instável (
).
Resposta
Os campos estruturalmente estáveis em
são exatamente aqueles com ponto de equilíbrio na origem hiperbólico, isto é, as classes:
– Sela (autovalores reais de sinais opostos),
– Nó estável/instável (autovalores reais, ambos com parte real não nula),
– Espiral/foco estável/instável (autovalores complexos com parte real não nula).
– Sela (autovalores reais de sinais opostos),
– Nó estável/instável (autovalores reais, ambos com parte real não nula),
– Espiral/foco estável/instável (autovalores complexos com parte real não nula).