Questão 5 Considerando os campos de vetores lineares bidimensionais, determine quais são estruturalmente estáveis.

Passo 1

O enunciado trata de campos de vetores lineares em R^2, dados por
dot x = A,x,
onde A é uma matriz 2times2. Queremos saber para quais A o ponto de equilíbrio na origem é estruturalmente estável. O que precisamos: a noção de ponto hiperbólico (Hartman–Grobman) e as fórmulas de traço e determinante para classificar autovalores.

Passo 2

Seja
Os autovalores de são
Dependendo de , e do discriminante , o ponto de equilíbrio pode ser nó, sela, foco ou centro.

Passo 3

Critério de estabilidade estrutural (hiperbólico): todas as partes reais dos autovalores devem ser não nulas, isto é,
Re(lambda1)neq 0 e Re(lambda2)neq 0
Em termos de tau e De<a, isso equivale a:
1. De<a<0 Rightarrow autovalores reais de sinais opostos (sela) Rightarrow Re(lambdai)neq 0.
2. De<a>0 e tauneq 0 Rightarrow
  • se tau^2-4De<a>=0, autovalores reais ambos com Re(lambdai)=tau/2neq0 (nó estável se tau<0, instável se tau>0),
  • se tau^2-4De<a<0, autovalores complexos com Re(lambdai)=tau/2neq0 (foco ou espiral estável/instável).
    Casos proibidos (não hiperbólicos): De<a>0 e tau=0 (centro puro, Re(lambda)=0) ou De<a=0 (autovalor zero).

Passo 4

Concluímos que os únicos campos estruturalmente estáveis são exatamente aqueles cujos pontos de equilíbrio na origem são hiperbólicos, ou seja:
  • Ponto de sela ( De<a<0),
  • Nó estável ou instável ( De<a>0,;tauneq0,;tau^2>=4De<a),
  • Espiral/foco estável ou instável ( De<a>0,;tauneq0,;tau^2<4De<a).

Resposta

Os campos estruturalmente estáveis em R^2 são exatamente aqueles com ponto de equilíbrio na origem hiperbólico, isto é, as classes:
– Sela (autovalores reais de sinais opostos),
– Nó estável/instável (autovalores reais, ambos com parte real não nula),
– Espiral/foco estável/instável (autovalores complexos com parte real não nula).

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