Em cada caso, esboce o gráfico G(f) da função f: D subset R^2 longrightarrow R dada.
z=f(x, y)=(2 x+y)^3, D=R^2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico
G(f)=(x,y,z)in R^3mid z=f(x,y)=(2x+y)^3,
ou seja, uma superfície em R^3. O conteúdo usado será o de mudança de coordenadas no plano e análise de seções planas para identificar que tipo de superfície obtemos.

Passo 2

Note que a variável z depende apenas da combinação linear
u = 2x + y
Isso indica que, para qualquer ponto (x,y) que mantenha u constante, o valor de z também é constante igual a u^3. No plano (x,y), as curvas 2x+y=constante são retas, e na superfície essas retas viram geratrizes de um “cilindro” sobre a curva z=u^3.

Passo 3

Para tornar isso claro, introduzimos coordenadas
Na parametrização mantendo fixo, movemo-nos ao longo de retas paralelas a sem alterar .

Passo 4

Para visualizar a curva geratriz, examinemos duas seções especiais:
  1. Corte pelo plano x=0: então u=y e
z = y^3,
ou seja, a curva cúbica usual no plano (y,z).
2. Corte pelo plano y=0: então u=2x e
z = (2x)^3 = 8x^3,
outra cúbica no plano (x,z).
Essas duas curvas confirmam a forma de “S” invertido típico de uma função cúbica.

Passo 5

Juntando tudo, o gráfico de f é um cilindro cujas geratrizes são retas paralelas ao vetor (1,-2,0) e cuja “base” (diretriz) é a curva cúbica z=u^3 no plano que contém o eixo u. Para esboçar:
  1. Desenhe a curva z=u^3 num plano ortogonal ao vetor (1,-2,0).
  2. A partir de cada ponto dessa curva, trace uma reta paralela a (1,-2,0).

Resposta

O gráfico de f é um cilindro reto em R^3 gerado pela curva cúbica z=u^3 (onde u=2x+y), com geratrizes paralelas ao vetor (1,-2,0).

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