Em cada caso, esboce o gráfico
da função
dada.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico
ou seja, uma superfície em
. O conteúdo usado será o de mudança de coordenadas no plano e análise de seções planas para identificar que tipo de superfície obtemos.
Passo 2
Note que a variável
depende apenas da combinação linear
Isso indica que, para qualquer ponto
que mantenha
constante, o valor de
também é constante igual a
. No plano
, as curvas
são retas, e na superfície essas retas viram geratrizes de um “cilindro” sobre a curva
.
Passo 3
Para tornar isso claro, introduzimos coordenadas
Na parametrização mantendo
fixo, movemo-nos ao longo de retas paralelas a
sem alterar
.
Passo 4
Para visualizar a curva geratriz, examinemos duas seções especiais:
- Corte pelo plano
: então e
ou seja, a curva cúbica usual no plano
.
2. Corte pelo plano : então
e
2. Corte pelo plano
outra cúbica no plano
.
Essas duas curvas confirmam a forma de “S” invertido típico de uma função cúbica.
Essas duas curvas confirmam a forma de “S” invertido típico de uma função cúbica.
Passo 5
Juntando tudo, o gráfico de
é um cilindro cujas geratrizes são retas paralelas ao vetor
e cuja “base” (diretriz) é a curva cúbica
no plano que contém o eixo
. Para esboçar:
- Desenhe a curva
num plano ortogonal ao vetor . - A partir de cada ponto dessa curva, trace uma reta paralela a
.
Resposta
O gráfico de
é um cilindro reto em
gerado pela curva cúbica
(onde
), com geratrizes paralelas ao vetor
.