Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam P e Q funções de R com valores em Mn times n ( R ). Mostre que
(P+Q)^prime=P^prime+Q^prime.

Passo 1

O enunciado diz que P e Q são funções de R em Mntimes n(R) e pede para mostrar que a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja,
ddxl(P(x)+Q(x)r)=P'(x)+Q'(x)
Para isso, vamos usar a definição de derivada em espaços vetoriais (aqui, o espaço de matrizes) e a propriedade de linearidade do limite.

Passo 2

Pela definição de derivada, para qualquer xinR consideramos o quociente de diferença
(P+Q)(x+h)-(P+Q)(x)h =P(x+h)-P(x)h+Q(x+h)-Q(x)h

Passo 3

Como a adição em Mntimes n(R) é contínua e o limite de soma é a soma dos limites, temos
limhto0(P+Q)(x+h)-(P+Q)(x)h =limhto0P(x+h)-P(x)h +limhto0Q(x+h)-Q(x)h =P'(x)+Q'(x)

Resposta

(P+Q)'(x)=P'(x)+Q'(x)

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