Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam
e
funções de
com valores em
(
). Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções de
em
e pede para mostrar que a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja,
Para isso, vamos usar a definição de derivada em espaços vetoriais (aqui, o espaço de matrizes) e a propriedade de linearidade do limite.
Passo 2
Pela definição de derivada, para qualquer
consideramos o quociente de diferença
Passo 3
Como a adição em
é contínua e o limite de soma é a soma dos limites, temos