Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam
e
funções de
com valores em
(
). Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções
e
e pede para provar a regra do produto para derivadas de funções com valor matricial:
e pede para provar a regra do produto para derivadas de funções com valor matricial:
Vamos usar a definição de derivada via quociente incremental e as propriedades algébricas de limite e de multiplicação matricial.
Passo 2
Pela definição, a derivada de
em
é
Passo 3
Para separar os termos de
e
, somamos e subtraímos
no numerador:
Passo 4
Reagrupando, obtemos
Passo 5
Dividindo por
e tomando limite em
, usamos que
)
,
)
(continuidade de
),
)
.
Logo,
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