Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam P e Q funções de R com valores em Mn times n ( R ). Mostre que
(P Q)^prime=P^prime Q+P Q^prime.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções
Pcolon Rto Mntimes n(R) e
Qcolon Rto Mntimes n(R)
e pede para provar a regra do produto para derivadas de funções com valor matricial:
(PQ)'(x) = P'(x),Q(x) + P(x),Q'(x)
Vamos usar a definição de derivada via quociente incremental e as propriedades algébricas de limite e de multiplicação matricial.

Passo 2

Pela definição, a derivada de PQ em x é
(PQ)'(x) =limhto0P(x+h),Q(x+h);-;P(x),Q(x)h

Passo 3

Para separar os termos de P e Q, somamos e subtraímos P(x),Q(x+h) no numerador:
P(x+h),Q(x+h)-P(x),Q(x) =l(P(x+h),Q(x+h)-P(x),Q(x+h)r) +l(P(x),Q(x+h)-P(x),Q(x)r)

Passo 4

Reagrupando, obtemos
P(x+h),Q(x+h)-P(x),Q(x) =l(P(x+h)-P(x)r),Q(x+h) ;+;P(x),l(Q(x+h)-Q(x)r)

Passo 5

Dividindo por h e tomando limite em hto0, usamos que
1) limhto0P(x+h)-P(x)h=P'(x),
2) limhto0Q(x+h)=Q(x) (continuidade de Q),
3) limhto0Q(x+h)-Q(x)h=Q'(x).
Logo,
(PQ)'(x) =limhto0P(x+h)-P(x)h;Q(x+h) ;+;P(x);limhto0Q(x+h)-Q(x)h =P'(x),Q(x)+P(x),Q'(x)

Resposta

(PQ)'(x)=P'(x),Q(x)+P(x),Q'(x)

Exercícios relacionados