Exercicio 2.7
Calcular \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{z}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{x z} \cos \left(\frac{y}{z}\right) d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{z}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{xz} \cos\!\Bigl(\frac{y}{z}\Bigr)\,dy\,dx\,dz.
O conteúdo principal é usar Fubini para integrar primeiro em y, depois em x e, por fim, em z.

Passo 2

Vamos fazer a integral interna em y. Note que, para cada z>0 e x, podemos usar a mudança de variável
t = \frac{y}{z}, \quad dy = z\,dt,
e os limites y=0\mapsto t=0, y=xz\mapsto t=x. Assim,
\int_{0}^{xz} \cos\!\Bigl(\frac{y}{z}\Bigr)\,dy = \int_{0}^{x} \cos(t)\,(z\,dt) = z\int_{0}^{x}\cos(t)\,dt = z\bigl[\sin(t)\bigr]_{0}^{x} = z\,\sin(x).

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral original, ficamos com
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{z}^{\frac{\pi}{2}} z\,\sin(x)\,dx\,dz.
Agora integramos em x:
\int_{z}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{z}^{\frac{\pi}{2}} = 1 - \cos(z).
Logo o integral em x mais o fator z
\int_{z}^{\frac{\pi}{2}} z\,\sin(x)\,dx = z\bigl(1-\cos(z)\bigr).

Passo 4

Fica então a integral única em z:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} z\bigl(1-\cos(z)\bigr)\,dz = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} z\,dz - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} z\cos(z)\,dz.

Passo 5

Calculemos cada termo separadamente.
Para o primeiro:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} z\,dz = \bigl[\tfrac{z^{2}}{2}\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{2} = \frac{\pi^{2}}{8}.
Para o segundo, use integração por partes com u=z, dv=\cos(z)\,dz:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} z\cos(z)\,dz = \bigl[z\sin(z)\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(z)\,dz = \frac{\pi}{2}\cdot1 - 1 = \frac{\pi}{2} - 1.

Passo 6

Substituindo de volta,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} z\bigl(1-\cos(z)\bigr)\,dz = \frac{\pi^{2}}{8} - \Bigl(\frac{\pi}{2}-1\Bigr) = 1 + \frac{\pi^{2}}{8} - \frac{\pi}{2}.

Resposta

1 + \frac{\pi^{2}}{8} - \frac{\pi}{2}.

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