Exercício 14 Calcule a área das seguintes superfícies geradas pela rotação das seguintes curvas em torno do eixo
, nos respectivos intervalos.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é formada quando a curva $ y = \frac{1}{3}x^3 $ é girada em torno do eixo $ x $, no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. Para isso, vamos usar uma fórmula de cálculo de área de superfície de rotação. Isso envolve um pouco de cálculo integral, mas vou te explicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva $ y = f(x) $ em torno do eixo $ x $. A fórmula é:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $, e $ [a, b] $ é o intervalo de integração.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função dada é $ y = \frac{1}{3}x^3 $. Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula da área:
Para simplificar, vamos tirar a constante $ \frac{1}{3} $ para fora da integral:
Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral. Seja $ u = 1 + x^4 $, então $ du = 4x^3 dx $ ou $ \frac{du}{4} = x^3 dx $. Alterando os limites de integração:
Quando $ x = 0 $, $ u = 1 + 0 = 1 $
Quando $ x = 1 $, $ u = 1 + 1 = 2 $
Substituindo na integral:
Integrando:
Aplicando os limites:
Resposta
A área da superfície gerada é $ \frac{\pi}{9} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) $ unidades quadradas.