Exercício 15 Calcule o comprimento das seguintes curvas nos respectivos intervalos,
y=16 x^3+12 x, 1 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o comprimento da curva y=tfrac16x^3+tfrac12x no intervalo 1<= x<=3. Esse tipo de problema usa o conceito de comprimento de arco de uma função y=f(x), dado pela fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx Vamos precisar derivar y, simplificar o integrando e então calcular a integral.

Passo 2

Derivando y=tfrac16x^3+tfrac12x temos
y'=ddxl(tfrac16x^3+tfrac12xr)=tfrac16cdot3x^2+tfrac12cdot(-1)x^-2=tfrac12x^2-tfrac12x^2

Passo 3

Para montar 1+(y')^2 calculamos
(y')^2=l(tfrac12(x^2-tfrac1x^2)r)^2=tfrac14l(x^4-2+tfrac1x^4r)

Passo 4

Logo
1+(y')^2=1+tfrac14(x^4-2+tfrac1x^4)=4+x^4-2+1/x^44=x^4+2+1/x^44=14l(x^2+tfrac1x^2r)^2 Daí
raiz1+(y')^2=tfrac12l(x^2+tfrac1x^2r)

Passo 5

O comprimento fica
L=integral1^3tfrac12l(x^2+tfrac1x^2r)dx

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Uma primitiva é
integraltfrac12x^2dx=tfrac16x^3,integraltfrac12x^-2dx=tfrac12cdot(-x^-1)=-tfrac12x Portanto a antiderivada é F(x)=tfrac16x^3-tfrac12x e
L=F(3)-F(1)=l(tfrac16cdot27-tfrac16r)-l(tfrac16cdot1-tfrac12r)=l(tfrac92-tfrac16r)-l(tfrac16-tfrac12r)=tfrac133-(-tfrac13)=tfrac143

Resposta

L=tfrac143

Exercícios relacionados