Exercício 15 Calcule o comprimento das seguintes curvas nos respectivos intervalos,
y=2 x^3 / 2, 0 <= x <= 1;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y = 2 x^{3/2} no intervalo [0,1]. Vamos usar o conteúdo de comprimento de curvas planas, cuja fórmula para y = f(x) é
L = integrala^b raiz1 + (f'(x))^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada da função. Como y = 2 x^{3/2}, temos
y' = ddxl(2 x^3/2r) = 2 cdot 32 x^1/2 = 3 x^1/2

Passo 3

Substituímos na fórmula de comprimento. O integrando fica
raiz1 + (y')^2 = raiz1 + (3 x^1/2)^2 = raiz1 + 9x,
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L = integral0^1 raiz1 + 9x,dx

Passo 4

Para calcular a integral, fazemos a substituição u = 1 + 9x, de modo que du = 9 dx e dx = du/9. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=10. Assim,
L = integralu=1^10 raizu cdot du9 = 19 integral1^10 u^1/2,du

Passo 5

Integramos u^{1/2}:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23 u^3/2
Portanto,
L = 19 cdot 23 l(u^3/2r)|1^10 = 227l(10^3/2 - 1r)

Passo 6

Finalmente, como 10^{3/2} = 10\sqrt{10}, obtemos
L = 227l(10raiz10 - 1r)

Resposta

L = \frac{2}{27}\bigl(10\sqrt{10} - 1\bigr)

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