Exercício 15 Calcule o comprimento das seguintes curvas nos respectivos intervalos,
;
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva y = 2 x^{3/2} no intervalo [0,1]. Vamos usar o conteúdo de comprimento de curvas planas, cuja fórmula para y = f(x) é
Passo 2
Calculamos a derivada da função. Como y = 2 x^{3/2}, temos
Passo 3
Substituímos na fórmula de comprimento. O integrando fica
logo
Passo 4
Para calcular a integral, fazemos a substituição u = 1 + 9x, de modo que du = 9 dx e dx = du/9. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=10. Assim,
Passo 5
Integramos u^{1/2}:
Portanto,
Passo 6
Finalmente, como 10^{3/2} = 10\sqrt{10}, obtemos
Resposta
L = \frac{2}{27}\bigl(10\sqrt{10} - 1\bigr)