Passe para coordenadas polares e calcule a integral.
integral duplaB d x d y onde B é a região no plano x y, delimitada pela curva em coordenadas polares rho= cos theta, com-pi4 <= theta <= pi8.

Passo 1

A gente quer calcular a área da região B definida em coordenadas polares por ρ=cos θ, com −π/4≤θ≤π/8. O conteúdo é integral dupla em coordenadas polares e vamos precisar usar o Jacobiano ρ para transformar dx dy em ρ dρ dθ.

Passo 2

Em coordenadas polares, dx dy=ρ dρ dθ e os limites são 0≤ρ≤cos θ e −π/4≤θ≤π/8. Assim a integral vira:
integral duplaB dx,dy = integraltheta=-pi/4^pi/8 !integralrho=0^costheta rho ,drho,dtheta

Passo 3

Vamos primeiro integrar em ρ.
integral0^costheta rho ,drho = 12l(costhetar)^2
Logo a integral de área fica
integral-pi/4^pi/8 12cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos²θ usamos a identidade trigonométrica
cos^2theta = 1+cos(2theta)2
Substituindo na integral:
integral-pi/4^pi/8 12cos^2theta,dtheta = integral-pi/4^pi/8 1+cos(2theta)4,dtheta = 14integral-pi/4^pi/8 l(1+cos(2theta)r),dtheta

Passo 5

Agora é só integrar termo a termo e avaliar nos limites.
14l[theta + tfrac12sin(2theta)r]-pi/4^pi/8 = 14l(l(tfracpi8+tfracraiz24r)-l(-tfracpi4-tfrac12r)r) = 3pi32+raiz216+18

Resposta

integral duplaB dx,dy = 3pi32 + raiz216 + 18

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