Passe para coordenadas polares e calcule a integral.
onde
é a região no plano
, delimitada pela curva em coordenadas polares
.
Passo 1
A gente quer calcular a área da região B definida em coordenadas polares por ρ=cos θ, com −π/4≤θ≤π/8. O conteúdo é integral dupla em coordenadas polares e vamos precisar usar o Jacobiano ρ para transformar dx dy em ρ dρ dθ.
Passo 2
Em coordenadas polares, dx dy=ρ dρ dθ e os limites são 0≤ρ≤cos θ e −π/4≤θ≤π/8. Assim a integral vira:
Passo 3
Vamos primeiro integrar em ρ.
Logo a integral de área fica
Passo 4
Para integrar cos²θ usamos a identidade trigonométrica
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora é só integrar termo a termo e avaliar nos limites.