Calcular as soluções dos problemas de valor de contorno através da aplicação do Método de Fourier [ \mathbf{7 , 0 0} pts]:
\partial_{t} \theta=\partial_{x} \theta-2 \theta, \theta(x, 0)=10 e^{-x}-6 e^{-4 x}.

Passo 1

O enunciado pede a solução da PDE
\partial_{t}\theta=\partial_{x}\theta-2\,\theta
com condição inicial
\theta(x,0)=10e^{-x}-6e^{-4x},
usando o método de Fourier (isto é, separação de variáveis e superposição de modos exponenciais).

Passo 2

Proponho uma solução separável da forma
\theta(x,t)=X(x)\,T(t).
Então
\partial_{t}\theta = X(x)\,T'(t), \quad \partial_{x}\theta = X'(x)\,T(t).
Substituindo na PDE e dividindo por X(x)T(t)
\frac{T'(t)}{T(t)} \;=\;\frac{X'(x)}{X(x)} \;-\;2 \;=\;\lambda,
onde \lambda é constante de separação.

Passo 3

Isso gera dois ODEs:
\frac{T'(t)}{T(t)}=\lambda \quad\Rightarrow\quad T(t)=T(0)\,e^{\lambda t},
\frac{X'(x)}{X(x)}=\lambda+2 \quad\Rightarrow\quad X(x)=X(0)\,e^{(\lambda+2)x}.
Logo cada modo separável é
\theta_{\lambda}(x,t)=C\,e^{(\lambda+2)x}\,e^{\lambda t} =\;C\,e^{(\lambda+2)x+\lambda t}.

Passo 4

Como a condição inicial é combinação de e^{-x} e e^{-4x}, identificamos os valores de \lambda que geram esses modos:
para e^{-x} precisamos de \lambda+2=-1, ou seja \lambda=-3;
para e^{-4x} precisamos de \lambda+2=-4, ou seja \lambda=-6.

Passo 5

A superposição geral compatível com a linearidade é
\theta(x,t) = A\,e^{-x}\,e^{-3t} + B\,e^{-4x}\,e^{-6t}.
Em t=0 deve valer
\theta(x,0)=A\,e^{-x}+B\,e^{-4x} =10e^{-x}-6e^{-4x},
logo A=10 e B=-6.

Resposta

\theta(x,t)=10\,e^{-x-3t}\;-\;6\,e^{-4x-6t}.

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