Exercicio 14. Calcule a projeção de \vec{v} sobre \vec{u} em cada caso:
\vec{v}=(1,2,3) e \vec{u}=(1 / 2,1 / 2,1 / \sqrt{2}).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec v = (1,2,3) \vec u = \bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac1{\sqrt2}\bigr)
e pede a projeção de \vec v sobre \vec u.
O conteúdo usado aqui é produto escalar e projeção de vetores, cuja fórmula é
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v = \frac{\vec v\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u.

Passo 2

Calcular \vec u\cdot\vec u para saber se \vec u é unitário e simplificar a fórmula:
\vec u\cdot\vec u = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)^2 = \tfrac14 + \tfrac14 + \tfrac12 = 1.
Como \vec u\cdot\vec u=1, \vec u é unitário e \mathrm{proj}_{\vec u}\vec v = (\vec v\cdot\vec u)\,\vec u.

Passo 3

Calcular \vec v\cdot\vec u:
\vec v\cdot\vec u = 1\cdot\tfrac12 + 2\cdot\tfrac12 + 3\cdot\tfrac1{\sqrt2} = \tfrac12 + 1 + \tfrac{3}{\sqrt2} = \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{\sqrt2} = \frac{3+3\sqrt2}{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v = \frac{3+3\sqrt2}{2}\,\Bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac1{\sqrt2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{3+3\sqrt2}{4},\,\tfrac{3+3\sqrt2}{4},\,\tfrac{3+3\sqrt2}{2\sqrt2}\Bigr).
Para simplificar a terceira componente, note que
\frac{3+3\sqrt2}{2\sqrt2} = \frac{(3+3\sqrt2)\sqrt2}{2\cdot2} = \frac{6+3\sqrt2}{4}.
Portanto
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v = \Bigl(\tfrac{3+3\sqrt2}{4},\,\tfrac{3+3\sqrt2}{4},\,\tfrac{6+3\sqrt2}{4}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{3(1+\sqrt2)}{4},\,\tfrac{3(1+\sqrt2)}{4},\,\tfrac{3(2+\sqrt2)}{4}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \mathrm{proj}_{\vec u}\vec v = \Bigl(\tfrac{3+3\sqrt2}{4},\,\tfrac{3+3\sqrt2}{4},\,\tfrac{6+3\sqrt2}{4}\Bigr).

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