Exercicio 7. Determine o valor de x para o qual \vec{u}=(x, 3,4) e \vec{v}=(3,1,2) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u} = (x,\,3,\,4) \quad\text{e}\quad \vec{v} = (3,\,1,\,2)
e pede o valor de x para que eles sejam ortogonais. Para vetores ortogonais, seu produto escalar deve ser zero.

Passo 2

Lembrando que o produto escalar de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) com \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui temos u_1=x, u_2=3, u_3=4 e v_1=3, v_2=1, v_3=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula e impondo ortogonalidade \vec{u}\cdot\vec{v}=0:
x\cdot 3 + 3\cdot 1 + 4\cdot 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 3 + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 11 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{11}{3}.

Resposta

x = -\dfrac{11}{3}

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