Exercicio 14. Calcule a projeção de \vec{v} sobre \vec{u} em cada caso:
\vec{v}=(-1,3) e \vec{u}=(2,1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção de \vec v sobre \vec u, onde \vec v=(-1,3) e \vec u=(2,1). O conteúdo aqui é projeção de vetores, cuja fórmula é
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v = \frac{\vec v\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u.
Para resolver, vamos calcular o produto interno \vec v\cdot\vec u e o quadrado da norma de \vec u, que é \vec u\cdot\vec u.

Passo 2

Calculamos o produto interno:
\vec v\cdot\vec u = (-1)\cdot 2 + 3\cdot 1 = -2 + 3 = 1.

Passo 3

Calculamos o quadrado da norma de \vec u:
\vec u\cdot\vec u = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5.

Passo 4

O escalar da projeção é
\frac{\vec v\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u} = \frac{1}{5}.

Passo 5

Multiplicando esse escalar por \vec u, temos
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v = \frac{1}{5}\,(2,1) = \Bigl(\tfrac{2}{5},\,\tfrac{1}{5}\Bigr).

Resposta

\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v = \Bigl(\tfrac{2}{5},\,\tfrac{1}{5}\Bigr).

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