Exercício 14. Considere o experimento em que dois dados honestos de 6 lados são lançados e defina os eventos
o resultado do primeiro lançamento é menor que o do segundo
Suponha que o experimento é repetido com um dado de 70 lados.
Passo 1
O enunciado dá um experimento com dois lançamentos de dados honestos (justos) e define o evento
o resultado do primeiro lançamento é menor que o do segundo
. Perguntas claras que o problema faz:
- Para o par de dados de
faces: qual é ? - Para o par de dados de
faces (mesmo experimento, só que cada dado tem lados): qual é ?
Informações relevantes fornecidas:
- Cada dado é honesto (cada face tem mesma probabilidade).
- Nos dois casos os resultados possíveis de cada lançamento são inteiros de
até , com no primeiro caso e no segundo. - Os lançamentos são independentes (probabilidades multiplicam-se para pares de resultados).
Passo 2
Construir o espaço amostral e entender equiprobabilidade.
- Um resultado completo do experimento é um par ordenado
, onde é o resultado do primeiro dado e do segundo. - Se o dado tem
faces, então e . - Número total de resultados possíveis (tamanho do espaço amostral) é
, porque há escolhas para e escolhas para . - Como os dados são honestos e independentes, cada par
é equiprovável e tem probabilidade .
Passo 3
Contar os resultados favoráveis ao evento
(casos em que o primeiro é menor que o segundo).
- Para um dado genérico com
faces, queremos contar quantos pares satisfazem . - Uma conta direta: para
existem valores de que são maiores ( ); para há valores; …; para há valor; para há valores. - Somando: número de pares favoráveis
. - Essa soma é a soma dos primeiros
inteiros positivos, cujo valor é . Em notação combinatória, isso é igual a . - Intuição combinatória:
conta quantos pares distintos com existem; para cada par distinto há exatamente uma ordenação com , portanto essa contagem é correta.
Passo 4
Calcular a probabilidade genérica usando as quantidades obtidas.
- Probabilidade de
com dado de faces é
- Aqui cada símbolo significa:
-
: número de faces de cada dado; -
: número total de resultados ordenados ; -
: número de pares ordenados com ; -
: probabilidade do evento .
-
Passo 5
Aplicar a fórmula ao caso
(dois dados de 6 faces), fazendo a conta passo a passo.
- Usando
com :
- Se quiser ver a contagem explícita: número favorável
. Total . Logo .
Passo 6
Aplicar a fórmula ao caso
(dois dados de 70 faces), passo a passo e simplificação.
- Usando
com :
- Alternativamente, contar explicitamente: número favorável
. Total . Portanto . Simplificando dividindo por obtém-se .
Passo 7
Uma explicação intuitiva (método pela simetria) que ajuda na prova rápida:
- Pelo argumento de simetria entre os dois lançamentos,
. - A terceira possibilidade é empate:
. - Como as três possibilidades esgotam o espaço amostral,
logo
o que coincide com a fórmula usada acima. Esse argumento é ótimo para lembrar rápido na prova sem fazer somas.
Passo 8
Resumo final e incentivo: para dados honestos a resposta tem forma simples
. Para
e
já temos os resultados numéricos abaixo.