Exercício 14. Considere o experimento em que dois dados honestos de 6 lados são lançados e defina os eventos E=\{ o resultado do primeiro lançamento é menor que o do segundo \}\
[\star] Suponha que o experimento é repetido com um dado de 70 lados.

Passo 1

O enunciado dá um experimento com dois lançamentos de dados honestos (justos) e define o evento E=\{ o resultado do primeiro lançamento é menor que o do segundo \}. Perguntas claras que o problema faz:
  • Para o par de dados de 6 faces: qual é \Pr(E)?
  • Para o par de dados de 70 faces (mesmo experimento, só que cada dado tem 70 lados): qual é \Pr(E)?
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada dado é honesto (cada face tem mesma probabilidade).
  • Nos dois casos os resultados possíveis de cada lançamento são inteiros de 1 até n, com n=6 no primeiro caso e n=70 no segundo.
  • Os lançamentos são independentes (probabilidades multiplicam-se para pares de resultados).

Passo 2

Construir o espaço amostral e entender equiprobabilidade.
  • Um resultado completo do experimento é um par ordenado (i,j), onde i é o resultado do primeiro dado e j do segundo.
  • Se o dado tem n faces, então i\in\{1,\dots,n\} e j\in\{1,\dots,n\}.
  • Número total de resultados possíveis (tamanho do espaço amostral) é n^2, porque há n escolhas para i e n escolhas para j.
  • Como os dados são honestos e independentes, cada par (i,j) é equiprovável e tem probabilidade 1/n^2.

Passo 3

Contar os resultados favoráveis ao evento E (casos em que o primeiro é menor que o segundo).
  • Para um dado genérico com n faces, queremos contar quantos pares (i,j) satisfazem i<j.
  • Uma conta direta: para i=1 existem n-1 valores de j que são maiores ( 2,\dots,n); para i=2 n-2 valores; …; para i=n-1 1 valor; para i=n 0 valores.
  • Somando: número de pares favoráveis = (n-1)+(n-2)+\cdots+1+0.
  • Essa soma é a soma dos primeiros n-1 inteiros positivos, cujo valor é \dfrac{(n-1)n}{2}. Em notação combinatória, isso é igual a \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}.
  • Intuição combinatória: \binom{n}{2} conta quantos pares distintos \{i,j\} com i\neq j existem; para cada par distinto há exatamente uma ordenação com i<j, portanto essa contagem é correta.

Passo 4

Calcular a probabilidade genérica usando as quantidades obtidas.
  • Probabilidade de E com dado de n faces é
\Pr(E)=\frac{\text{nº de pares com }i<j}{\text{nº total de pares}}=\frac{\dfrac{n(n-1)}{2}}{n^2}=\frac{n-1}{2n}.ºº
  • Aqui cada símbolo significa:
    • n: número de faces de cada dado;
    • n^2: número total de resultados ordenados (i,j);
    • \dfrac{n(n-1)}{2}: número de pares ordenados com i<j;
    • \Pr(E): probabilidade do evento E.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso n=6 (dois dados de 6 faces), fazendo a conta passo a passo.
  • Usando \Pr(E)=\dfrac{n-1}{2n} com n=6:
\Pr(E)=\frac{6-1}{2\cdot6}=\frac{5}{12}.
  • Se quiser ver a contagem explícita: número favorável =5+4+3+2+1=15. Total =6^2=36. Logo \Pr(E)=15/36=5/12.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso n=70 (dois dados de 70 faces), passo a passo e simplificação.
  • Usando \Pr(E)=\dfrac{n-1}{2n} com n=70:
\Pr(E)=\frac{70-1}{2\cdot70}=\frac{69}{140}.
  • Alternativamente, contar explicitamente: número favorável =\dfrac{70\cdot69}{2}=2415. Total =70^2=4900. Portanto \Pr(E)=2415/4900. Simplificando dividindo por 35 obtém-se \dfrac{69}{140}.

Passo 7

Uma explicação intuitiva (método pela simetria) que ajuda na prova rápida:
  • Pelo argumento de simetria entre os dois lançamentos, \Pr(\text{primeiro}<\text{segundo})=\Pr(\text{primeiro}>\text{segundo}).
  • A terceira possibilidade é empate: \Pr(\text{empate})=\Pr(i=j)=\dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}.
  • Como as três possibilidades esgotam o espaço amostral,
2\Pr(\text{primeiro}<\text{segundo})+\frac{1}{n}=1,
logo
\Pr(\text{primeiro}<\text{segundo})=\frac{1-\dfrac{1}{n}}{2}=\frac{n-1}{2n},
o que coincide com a fórmula usada acima. Esse argumento é ótimo para lembrar rápido na prova sem fazer somas.

Passo 8

Resumo final e incentivo: para dados honestos a resposta tem forma simples \dfrac{n-1}{2n}. Para n=6 e n=70 já temos os resultados numéricos abaixo.

Resposta

\dfrac{5}{12}
\dfrac{69}{140}

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