Exercício 19 (Matemática). Seja B um evento com probabilidade não nula em um espaço de probabilidade (S, P). Verifique que \tilde{P}: \mathcal{P}(S) \rightarrow[0,1] dada por \tilde{P}(A)=P(A \mid B) também é uma medida de probabilidade em S, isto é:
  • \tilde{P}(A) \in[0,1]
  • \tilde{P}(\emptyset)=0 e \tilde{P}(S)=1.
  • Se A_{1} e A_{2} são eventos disjuntos, então
\tilde{P}\left(A_{1} \cap A_{2}\right)=\tilde{P}\left(A_{1}\right)+\tilde{P}\left(A_{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que se verifique três propriedades.
  • Dado um espaço de probabilidade (S,P) e um evento B com P(B)>0.
  • Define-se \tilde{P}:\mathcal{P}(S)\to[0,1] por
\tilde{P}(A)=P(A\mid B).
O enunciado pede para verificar:
  1. \tilde{P}(A)\in[0,1] para todo A\subseteq S.
  2. \tilde{P}(\emptyset)=0 e \tilde{P}(S)=1.
  3. Se A_{1} e A_{2} são eventos disjuntos, então (a propriedade de aditividade para eventos disjuntos).

Passo 2

Primeiro lembrar e escrever a definição que vamos usar: a probabilidade condicional de A dado B é, por definição,
\tilde{P}(A)=P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
porque P(B)>0. Aqui cada símbolo significa:
  • P(A\cap B) é a probabilidade, no espaço original (S,P), do evento A\cap B.
  • P(B) é a probabilidade do evento B, que é um número positivo.
  • A razão \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} é bem definida porque dividimos por um número positivo.
Vou usar essa fórmula frequentemente nas próximas etapas.

Passo 3

Provar que \tilde{P}(A)\ge 0 para todo A.
  • Sabemos que P é uma medida de probabilidade, logo para qualquer evento C vale P\text{(C)}\ge 0.
  • Em particular, P(A\cap B)\ge 0.
  • Como P(B)>0, ao dividir por P(B) obtemos
\tilde{P}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ge 0.
Portanto \tilde{P}(A) é não negativa.

Passo 4

Provar que \tilde{P}(A)\le 1 para todo A.
  • Observe que A\cap B\subseteq B. Para conjuntos, sempre que C\subseteq D e P é uma medida de probabilidade, tem-se P\text{(C)}\le P(D). (Explicação rápida: D=C\cup(D\setminus C) é união disjunta, então P(D)=P\text{(C)}+P(D\setminus C)\ge P\text{(C)}.)
  • Aplicando essa monotonicidade com C=A\cap B e D=B obtemos P(A\cap B)\le P(B).
  • Dividindo por P(B)>0
\tilde{P}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\le \frac{P(B)}{P(B)}=1.
  • Juntando com o passo anterior, concluímos \tilde{P}(A)\in[0,1] para todo A.

Passo 5

Verificar \tilde{P}(\emptyset)=0 e \tilde{P}(S)=1.
  • Usando a definição,
\tilde{P}(\emptyset)=P(\emptyset\mid B)=\frac{P(\emptyset\cap B)}{P(B)}=\frac{P(\emptyset)}{P(B)}=\frac{0}{P(B)}=0,
pois P(\emptyset)=0.
  • Para S,
\tilde{P}(S)=P(S\mid B)=\frac{P(S\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1,
pois S\cap B=B. Assim as duas igualdades pedidas são verificadas.

Passo 6

Observação sobre a fórmula fornecida no enunciado: o enunciado escreveu que, para A_1 e A_2 disjuntos, valeria
\tilde{P}\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=\tilde{P}\left(A_{1}\right)+\tilde{P}\left(A_{2}\right).
Isso, literalmente, está incorreto, porque se A_1 e A_2 são disjuntos então A_1\cap A_2=\emptyset e a igualdade exigiria 0=\tilde{P}(A_1)+\tilde{P}(A_2), o que normalmente não é verdade. O que se pretende mostrar (e o que caracteriza uma medida de probabilidade) é a aditividade sobre uniões disjuntas:
se A_1 e A_2 são disjuntos, então
\tilde{P}\bigl(A_1\cup A_2\bigr)=\tilde{P}(A_1)+\tilde{P}(A_2).
A seguir eu provo exatamente essa propriedade corrigida.

Passo 7

Provar a aditividade para uniões disjuntas: suponha A_1 e A_2 disjuntos (ou seja, A_1\cap A_2=\emptyset). Então:
  • Primeiro manipulo a expressão de \tilde{P}(A_1\cup A_2) usando a definição:
\tilde{P}(A_1\cup A_2)=\frac{P\bigl((A_1\cup A_2)\cap B\bigr)}{P(B)}.
  • Usando distributividade de interseção sobre união,
(A_1\cup A_2)\cap B=(A_1\cap B)\cup (A_2\cap B).
  • Como A_1 e A_2 são disjuntos, tem-se também que (A_1\cap B) e (A_2\cap B) são disjuntos; de fato
(A_1\cap B)\cap (A_2\cap B)=(A_1\cap A_2)\cap B=\emptyset\cap B=\emptyset.
  • Pela aditividade finita (propriedade de P) para uniões disjuntas,
P\bigl((A_1\cap B)\cup (A_2\cap B)\bigr)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B).
  • Portanto,
\tilde{P}(A_1\cup A_2) =\frac{P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)}{P(B)} =\frac{P(A_1\cap B)}{P(B)}+\frac{P(A_2\cap B)}{P(B)} =\tilde{P}(A_1)+\tilde{P}(A_2).
Isso prova a aditividade para duas uniões disjuntas. (O mesmo raciocínio estende-se por indução a qualquer número finito de eventos disjuntos, e por argumentos de medida a somas contáveis se desejar mostrar completeza.)

Passo 8

Conclusão: juntando os passos anteriores mostramos que \tilde{P} é não negativa e no máximo 1, que dá os valores em [0,1], que \tilde{P}(\emptyset)=0 e \tilde{P}(S)=1, e que \tilde{P} é aditiva sobre uniões disjuntas (pelo menos para duas) — portanto \tilde{P} satisfaz as propriedades que definem uma medida de probabilidade em S. Parabéns, você já acabou a parte teórica!

Resposta

\tilde{P}(A)\in[0,1] para todo A\subseteq S.\n
\tilde{P}(\emptyset)=0 e \tilde{P}(S)=1.\n
Se A_{1} e A_{2} são disjuntos então \displaystyle \tilde{P}\bigl(A_{1}\cup A_{2}\bigr)=\tilde{P}(A_{1})+\tilde{P}(A_{2}).

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