Exercício 19 (Matemática). Seja
um evento com probabilidade não nula em um espaço de probabilidade
. Verifique que
dada por
também é uma medida de probabilidade em
, isto é:
-
-
e
.
- Se
e
são eventos disjuntos, então
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que se verifique três propriedades.
- Dado um espaço de probabilidade
e um evento com . - Define-se
por
O enunciado pede para verificar:
-
para todo . -
e . - Se
e são eventos disjuntos, então (a propriedade de aditividade para eventos disjuntos).
Passo 2
Primeiro lembrar e escrever a definição que vamos usar: a probabilidade condicional de
dado
é, por definição,
porque
. Aqui cada símbolo significa:
-
é a probabilidade, no espaço original , do evento . -
é a probabilidade do evento , que é um número positivo. - A razão
é bem definida porque dividimos por um número positivo.
Vou usar essa fórmula frequentemente nas próximas etapas.
Passo 3
Provar que
para todo
.
- Sabemos que
é uma medida de probabilidade, logo para qualquer evento vale . - Em particular,
. - Como
, ao dividir por obtemos
Portanto
é não negativa.
Passo 4
Provar que
para todo
.
- Observe que
. Para conjuntos, sempre que e é uma medida de probabilidade, tem-se . (Explicação rápida: é união disjunta, então .) - Aplicando essa monotonicidade com
e obtemos . - Dividindo por
dá
- Juntando com o passo anterior, concluímos
para todo .
Passo 5
Verificar
e
.
- Usando a definição,
pois
.
- Para
,
pois
. Assim as duas igualdades pedidas são verificadas.
Passo 6
Observação sobre a fórmula fornecida no enunciado: o enunciado escreveu que, para
e
disjuntos, valeria
Isso, literalmente, está incorreto, porque se
e
são disjuntos então
e a igualdade exigiria
, o que normalmente não é verdade. O que se pretende mostrar (e o que caracteriza uma medida de probabilidade) é a aditividade sobre uniões disjuntas:
se e
são disjuntos, então
se
A seguir eu provo exatamente essa propriedade corrigida.
Passo 7
Provar a aditividade para uniões disjuntas: suponha
e
disjuntos (ou seja,
). Então:
- Primeiro manipulo a expressão de
usando a definição:
- Usando distributividade de interseção sobre união,
- Como
e são disjuntos, tem-se também que e são disjuntos; de fato
- Pela aditividade finita (propriedade de
) para uniões disjuntas,
- Portanto,
Isso prova a aditividade para duas uniões disjuntas. (O mesmo raciocínio estende-se por indução a qualquer número finito de eventos disjuntos, e por argumentos de medida a somas contáveis se desejar mostrar completeza.)
Passo 8
Conclusão: juntando os passos anteriores mostramos que
é não negativa e no máximo
, que dá os valores em
, que
e
, e que
é aditiva sobre uniões disjuntas (pelo menos para duas) — portanto
satisfaz as propriedades que definem uma medida de probabilidade em
. Parabéns, você já acabou a parte teórica!
Resposta
Se