Exercício (novo) 20. Sejam
e
eventos com probabilidade positiva.
a) Verifique que
.
a) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede claramente o que verificar.
- Dados: eventos ) e ) com ).
- Pedido: verificar a igualdade
Aqui
) é o complemento de
) (ou seja, o evento "não
"), e
) é a medida de probabilidade. A resolução começa a partir da definição de probabilidade condicional.
Passo 2
Definição (fórmula) de probabilidade condicional: para eventos
) e
) com
),
Explicando cada símbolo:
- ) é a probabilidade de ) ocorrer sabendo que ) ocorreu.
- ) é a interseção entre ) e ): os resultados que estão em ambos os eventos.
- ) é a probabilidade de ) (o denominador só existe porque )).
Aplicando essa definição aos dois termos do lado esquerdo do que queremos provar, obtemos expressões com numeradores que envolvem interseções.
Passo 3
Escrever as duas probabilidades condicionais pela definição e somá‑las:
Aqui usei a soma de frações com mesmo denominador
).
Passo 4
Mostrar que o numerador vale
). As observações-chave:
-
) e ) são disjuntos: não podem acontecer ao mesmo tempo.
Justificativa: se um resultado ) pertence a ambos, então ) e ) ao mesmo tempo, o que é impossível por definição de complemento. Logo -
A união
é exatamente ).
Justificativa: todo resultado ) em ) ou está em ) (então pertence a )) ou não está em ) (então pertence a )). Portanto a união cobre todo ) e nada fora de ).
Como as duas partes são disjuntas, a probabilidade da união é soma das probabilidades:
Passo 5
Substituindo esse resultado na fração do Passo 3:
Como
), a razão
) está bem definida e vale
. Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se, condicionando em
), a parte de
) que está em
) tem probabilidade
) então a parte em
) terá
) e a soma é
).
Passo 6
Conclusão: a soma das probabilidades condicionais de um evento e do seu complemento, dadas as mesmas condições, cobre todo o espaço condicionado e portanto é
. Mantenha em prova a definição de probabilidade condicional e a ideia de partição do evento
em duas partes disjuntas (
e
) — isso resolve muitas questões semelhantes.