Exercício (novo) 20. Sejam A e B eventos com probabilidade positiva.
a) Verifique que P(A \mid B)+P\left(A^{\prime} \mid B\right)=1.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede claramente o que verificar.
  • Dados: eventos \(A) e \(B) com \(P(B)>0).
  • Pedido: verificar a igualdade
P(A\mid B)+P\big(A'\mid B\big)=1.
Aqui \(A') é o complemento de \(A) (ou seja, o evento "não A"), e \(P) é a medida de probabilidade. A resolução começa a partir da definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Definição (fórmula) de probabilidade condicional: para eventos \(E) e \(B) com \(P(B)>0),
P(E\mid B)=\frac{P(E\cap B)}{P(B)}.
Explicando cada símbolo:
  • \(P(E\mid B)) é a probabilidade de \(E) ocorrer sabendo que \(B) ocorreu.
  • \(E\cap B) é a interseção entre \(E) e \(B): os resultados que estão em ambos os eventos.
  • \(P(B)) é a probabilidade de \(B) (o denominador só existe porque \(P(B)>0)).
Aplicando essa definição aos dois termos do lado esquerdo do que queremos provar, obtemos expressões com numeradores que envolvem interseções.

Passo 3

Escrever as duas probabilidades condicionais pela definição e somá‑las:
P(A\mid B)+P\big(A'\mid B\big) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}+\frac{P(A'\cap B)}{P(B)} =\frac{P(A\cap B)+P(A'\cap B)}{P(B)}.
Aqui usei a soma de frações com mesmo denominador \(P(B)).

Passo 4

Mostrar que o numerador vale \(P(B)). As observações-chave:
  1. \(A\cap B) e \(A'\cap B) são disjuntos: não podem acontecer ao mesmo tempo.
    Justificativa: se um resultado \(\omega) pertence a ambos, então \(\omega\in A) e \(\omega\in A') ao mesmo tempo, o que é impossível por definição de complemento. Logo
    (A\cap B)\cap(A'\cap B)=\varnothing.
  2. A união (A\cap B)\cup(A'\cap B) é exatamente \(B).
    Justificativa: todo resultado \(\omega) em \(B) ou está em \(A) (então pertence a \(A\cap B)) ou não está em \(A) (então pertence a \(A'\cap B)). Portanto a união cobre todo \(B) e nada fora de \(B).
Como as duas partes são disjuntas, a probabilidade da união é soma das probabilidades:
P(A\cap B)+P(A'\cap B)=P\big((A\cap B)\cup(A'\cap B)\big)=P(B).

Passo 5

Substituindo esse resultado na fração do Passo 3:
P(A\mid B)+P\big(A'\mid B\big)=\frac{P(B)}{P(B)}.
Como \(P(B)>0), a razão \(\dfrac{P(B)}{P(B)}) está bem definida e vale 1. Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se, condicionando em \(B), a parte de \(B) que está em \(A) tem probabilidade \(0,7) então a parte em \(A') terá \(0,3) e a soma é \(1).

Passo 6

Conclusão: a soma das probabilidades condicionais de um evento e do seu complemento, dadas as mesmas condições, cobre todo o espaço condicionado e portanto é 1. Mantenha em prova a definição de probabilidade condicional e a ideia de partição do evento B em duas partes disjuntas ( A\cap B e A'\cap B) — isso resolve muitas questões semelhantes.

Resposta

P(A\mid B)+P\big(A'\mid B\big)=1

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