Exercício 4. Em cada um dos itens abaixo, encontre, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) nos pontos P=\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right) especificados:
b) f(x)=3 x^{2}-5 x+4, P_{1}=(0,100) e P_{2}=(1,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente ao gráfico de
f(x)=3x^2-5x+4
nos pontos P_1=(0,100) e P_2=(1,2). Vamos precisar da derivada f'(x) para obter o coeficiente angular e também verificar se cada ponto pertence de fato ao gráfico de f.

Passo 2

Para que exista reta tangente em P=(x_0,y_0), é necessário que y_0 = f(x_0). No caso de P_1:
f(0)=3\cdot0^2-5\cdot0+4=4\neq100,
portanto P_1 não pertence ao gráfico de f e não existe reta tangente em P_1.

Passo 3

Em P_2=(1,2) temos
f(1)=3\cdot1^2-5\cdot1+4=2,
logo P_2 pertence ao gráfico e podemos encontrar a reta tangente aí.

Passo 4

Calculamos a derivada:
f'(x)=6x-5.
Em x=1 o coeficiente angular é
m=f'(1)=6\cdot1-5=1.
A equação da reta tangente em P_2 é
y-2 = 1\,(x-1)
ou seja
y = x + 1.

Resposta

Para P_1: não existe reta tangente (ponto não está no gráfico).
Para P_2: y = x + 1.

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