Exercício 3. Considere a função
g(x)= \begin{cases}x, & x \geq 2 \\\ \frac{x^{2}}{2}, & x<2\end{cases}

Calcule:

(a) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}
(b) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}
(c) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)-g(2)}{x-2} (ou seja, a derivada de g(x) em x=2 existe?)
(d) Considere f(x)=\frac{g(x)-g(2)}{x-2} para x \neq 2. Há como definir f(2) de forma que f seja contínua em 2? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(x)= \begin{cases} x, & x\ge2,\\\ \dfrac{x^2}{2}, & x<2, \end{cases}
e pede os limites do quociente \bigl(g(x)-g(2)\bigr)/(x-2) pelas duas mãos, depois a existência da derivada em x=2 e, por fim, se o “quociente” estendido em x=2 pode ser contínuo. Vamos usar definição de limite e continuidade via diferença de quocientes.

Passo 2

Primeiro, note que g(2) é dado pelo ramo x\ge2, logo
g(2)=2.
Para x<2 temos g(x)=x^2/2. Assim o quociente é
\frac{g(x)-g(2)}{x-2} =\frac{\tfrac{x^2}{2}-2}{x-2} =\frac{x^2-4}{2(x-2)} =\frac{(x-2)(x+2)}{2(x-2)} =\frac{x+2}{2}.
Fazendo x\to2^-, obtemos
\lim_{x\to2^-}\frac{g(x)-g(2)}{x-2} =\frac{2+2}{2}=2.

Passo 3

Para x>2 vale g(x)=x. Então
\frac{g(x)-g(2)}{x-2} =\frac{x-2}{x-2}=1.
Logo
\lim_{x\to2^+}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=1.

Passo 4

Para existir a derivada em x=2 seria preciso que os dois limites laterais coincidissem. Como
\lim_{x\to2^-}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=2 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^+}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=1,
esses valores são diferentes, logo
\lim_{x\to2}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}
não existe e g'(2) não existe.

Passo 5

Definimos
f(x)=\frac{g(x)-g(2)}{x-2}\quad(x\neq2).
Para tornar f contínua em x=2 precisaríamos de
\lim_{x\to2}f(x)
existente e igual a f(2). Mas já vimos que o limite lateral esquerdo vale 2 e o direito vale 1, logo o limite não existe. Portanto não há valor que possamos dar a f(2) que torne f contínua em 2.

Resposta

(a) 2
(b) 1
(c) Não existe (os limites laterais são diferentes)
(d) Não; os limites laterais de f(x) em 2 são 2 e 1, então não há definição de f(2) que torne f contínua.

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