g(x)= \begin{cases}x, & x \geq 2 \\\ \frac{x^{2}}{2}, & x<2\end{cases}
Calcule:
(a) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}
(b) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}
(c) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)-g(2)}{x-2} (ou seja, a derivada de g(x) em x=2 existe?)
(d) Considere f(x)=\frac{g(x)-g(2)}{x-2} para x \neq 2. Há como definir f(2) de forma que f seja contínua em 2? Por quê?
e pede os limites do quociente \bigl(g(x)-g(2)\bigr)/(x-2) pelas duas mãos, depois a existência da derivada em x=2 e, por fim, se o “quociente” estendido em x=2 pode ser contínuo. Vamos usar definição de limite e continuidade via diferença de quocientes.
Passo 2
Primeiro, note que g(2) é dado pelo ramo x\ge2, logo
existente e igual a f(2). Mas já vimos que o limite lateral esquerdo vale 2 e o direito vale 1, logo o limite não existe. Portanto não há valor que possamos dar a f(2) que torne f contínua em 2.
Resposta
(a) 2
(b) 1
(c) Não existe (os limites laterais são diferentes)
(d) Não; os limites laterais de f(x) em 2 são 2 e 1, então não há definição de f(2) que torne f contínua.