Exercício 14 Considere as matrizes
A=[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 5 3 & 0 & 1] e B=[lll2 & 2 & 2 0 & 2 & 2 1 & 1 & 2]
Calcule:
det(A^4 B^-2)

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 5 3 & 0 & 1
e
B = 2 & 2 & 2 0 & 2 & 2 1 & 1 & 2
e pede o valor de detl(A^4B^-2r). O conteúdo aqui são as propriedades de determinantes:
  1. det(XY)=det(X)det(Y),
  2. det(X^k)=l(det(X)r)^k,
  3. det(X^-1)=l(det(X)r)^-1.

Passo 2

Vamos calcular det(A). Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet1&50&1 -0cdotdet0&53&1 +1cdotdet0&13&0
Calculando cada menor:
det1&50&1=1cdot1-5cdot0=1, det0&13&0=0cdot0-1cdot3=-3
Logo
det(A)=1+(-3)=-2

Passo 3

Agora calculamos det(B). Pela primeira linha:
det(B) =2cdotdet2&21&2 -2cdotdet0&21&2 +2cdotdet0&21&1
Os menores valem
det2&21&2=2cdot2-2cdot1=2, det0&21&2=0cdot2-2cdot1=-2, det0&21&1=0cdot1-2cdot1=-2
Portanto
det(B)=2cdot2 -2cdot(-2) +2cdot(-2) =4 +4 -4 =4

Passo 4

Usamos agora a propriedade do determinante de produto e potência:
detl(A^4B^-2r) =det(A^4),detl(B^-2r) =l(det(A)r)^4;l(det(B)r)^-2
Substituindo det(A)=-2 e det(B)=4:
detl(A^4B^-2r) =(-2)^4cdot4^-2 =16cdot116 =1

Resposta

1

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