Exercício 15 Mostre que
|cccccc lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 lambda & lambda+1 & 2 & 2 & 2 & 2 lambda & lambda+1 & lambda+2 & 3 & 3 & 3 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & 4 & 4 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 & 5 lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 & lambda+5 |=lambda^6

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 [6pt] lambda & lambda+1 & 2 & 2 & 2 & 2 [6pt] lambda & lambda+1 & lambda+2 & 3 & 3 & 3 [6pt] lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & 4 & 4 [6pt] lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 & 5 [6pt] lambda & lambda+1 & lambda+2 & lambda+3 & lambda+4 & lambda+5
é igual a lambda^6. O conteúdo que vamos usar é o de operações elementares em linhas que não alteram o determinante (subtrair uma linha da outra) e o fato de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.]

Passo 2

Aplicamos as seguintes operações de linha, de baixo para cima, para não alterar o determinante:
R6 >=ts R6 - R5, R5 >=ts R5 - R4, R4 >=ts R4 - R3, R3 >=ts R3 - R2, R2 >=ts R2 - R1
Cada operação do tipo Ri >=ts Ri - Ri-1 preserva o valor do determinante.

Passo 3

Após essas subtrações, a matriz vira uma matriz triangular (com zeros abaixo da diagonal) da forma
T = lambda & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 [6pt] 0 & lambda & 1 & 1 & 1 & 1 [6pt] 0 & 0 & lambda & 1 & 1 & 1 [6pt] 0 & 0 & 0 & lambda & 1 & 1 [6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & lambda & 1 [6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & lambda
De fato, para cada i>=2, a nova linha Ri tem zeros nas colunas 1,2,dots,i-1, valor lambda na coluna i e uns nas colunas seguintes, mas isso não impede que ela seja triangular superior.]

Passo 4

Como T é triangular superior,
det(T)=prodi=1^6Tii =lambdacdotlambdacdotlambdacdotlambdacdotlambdacdotlambda =lambda^6
E como as operações de linha não mudaram o determinante, concluímos que o determinante original também é lambda^6.

Resposta

lambda^6

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