Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
z=4 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o estudo de traços e a construção do gráfico da superfície dada por
z = 4x^{2}\,.
O conteúdo é geometria de superfícies quádricas no espaço (x,y,z). Vamos analisar interseções com planos coordenados (traços) para entender a forma da superfície.

Passo 2

Traço em planos y = y_{0} (paralelos ao plano xz):
Substituindo y=y_{0} na equação, obtemos
z = 4x^{2}\,,
que é uma parábola no plano (x,z) com vértice em (0,0) e “boca” voltada para cima. Esse traço independe de y_{0}, logo a mesma parábola se repete para todo y.

Passo 3

Traço em planos x = x_{0} (paralelos ao plano yz):
Substituindo x=x_{0} na equação, obtemos
z = 4x_{0}^{2}\,,
que é uma reta horizontal no plano (y,z) à altura z=4x_{0}^{2}, paralela ao eixo y. Para cada valor fixo de x_{0} temos uma reta.

Passo 4

Traço em planos z = z_{0} (planos horizontais):
Da equação z_{0}=4x^{2} segue
x = \pm\sqrt{\frac{z_{0}}{4}}\,,
que são linhas verticais (paralelas ao eixo y) para z_{0}\ge0. Se z_{0}<0, não há interseção.

Passo 5

Concluímos que a superfície é uma parabólica cilíndrica: a parábola z=4x^{2} no plano y=0 é “esticada” indefinidamente ao longo do eixo y.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico com equação
z = 4x^{2}\,,
cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo y. Nos planos y=\text{const} aparecem parábolas z=4x^{2}, e em planos x=\text{const} aparecem retas z=4x_{0}^{2}.

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