Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede o estudo de traços e a construção do gráfico da superfície dada por
O conteúdo é geometria de superfícies quádricas no espaço
. Vamos analisar interseções com planos coordenados (traços) para entender a forma da superfície.
Passo 2
Traço em planos
(paralelos ao plano
):
Substituindo na equação, obtemos
Substituindo
que é uma parábola no plano
com vértice em
e “boca” voltada para cima. Esse traço independe de
, logo a mesma parábola se repete para todo
.
Passo 3
Traço em planos
(paralelos ao plano
):
Substituindo na equação, obtemos
Substituindo
que é uma reta horizontal no plano
à altura
, paralela ao eixo
. Para cada valor fixo de
temos uma reta.
Passo 4
Traço em planos
(planos horizontais):
Da equação segue
Da equação
que são linhas verticais (paralelas ao eixo
) para
. Se
, não há interseção.
Passo 5
Concluímos que a superfície é uma parabólica cilíndrica: a parábola
no plano
é “esticada” indefinidamente ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico com equação
cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo
. Nos planos
aparecem parábolas
, e em planos
aparecem retas
.