Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede o gráfico da superfície em
dada pela equação
Essa superfície é cilíndrica porque não depende de
: ao deslocar-se ao longo de
, a forma não muda. Para desenhar, vamos estudar seus traços, isto é, as interseções com planos constantes de
,
e
.
Passo 2
Considere o plano vertical
. Nesse plano, a equação fica
que é uma parábola no plano
. Em coordenadas paramétricas, cada traço é
Ou seja, para todo valor de
fixo, o traço é sempre a mesma parábola
.
Passo 3
Considere o plano vertical
. A interseção satisfaz
logo
é constante igual a
. No espaço, isso é uma reta paralela ao eixo
, situada na altura
e na posição
.
Passo 4
Considere o plano horizontal
. A equação dá
Se
, não há pontos reais. Se
, temos
(reta em
). Se
, surgem duas retas paralelas ao eixo
:
Passo 5
Juntando tudo, vemos que a superfície é gerada ao “extrudar” a parábola
(no plano
) ao longo de todo o eixo
. Não há variação em
, somente em
e
. O resultado é um cilindro parabólico com as seguintes características:
– Seções por planos const são parábolas idênticas em
.
– Seções por planos const ou
const são retas paralelas a
.
Graficamente, desenhe primeiro a parábola no plano
e depois estenda-a sem curvar ao longo do eixo
.
– Seções por planos
– Seções por planos
Graficamente, desenhe primeiro a parábola
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico de equação
, gerado pela parábola
no plano
e prolongado ao longo do eixo
.