Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
z=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da superfície em \mathbb{R}^3 dada pela equação
z = y^2
Essa superfície é cilíndrica porque não depende de x: ao deslocar-se ao longo de x, a forma não muda. Para desenhar, vamos estudar seus traços, isto é, as interseções com planos constantes de x, y e z.

Passo 2

Considere o plano vertical x = x_0. Nesse plano, a equação fica
z = y^2,\quad x = x_0,
que é uma parábola no plano y\!z. Em coordenadas paramétricas, cada traço é
(x,y,z) = \bigl(x_0,\;t,\;t^2\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.
Ou seja, para todo valor de x_0 fixo, o traço é sempre a mesma parábola z=y^2.

Passo 3

Considere o plano vertical y = y_0. A interseção satisfaz
z = y_0^2,\quad y=y_0,
logo z é constante igual a y_0^2. No espaço, isso é uma reta paralela ao eixo x, situada na altura z=y_0^2 e na posição y=y_0.

Passo 4

Considere o plano horizontal z = z_0. A equação dá
y^2 = z_0.
Se z_0<0, não há pontos reais. Se z_0=0, temos y=0 (reta em x). Se z_0>0, surgem duas retas paralelas ao eixo x:
y = +\sqrt{z_0} \quad\text{e}\quad y = -\sqrt{z_0}.

Passo 5

Juntando tudo, vemos que a superfície é gerada ao “extrudar” a parábola z=y^2 (no plano x=0) ao longo de todo o eixo x. Não há variação em x, somente em y e z. O resultado é um cilindro parabólico com as seguintes características:
– Seções por planos x=const são parábolas idênticas em y\!z.
– Seções por planos y=const ou z=const são retas paralelas a x.
Graficamente, desenhe primeiro a parábola z=y^2 no plano x=0 e depois estenda-a sem curvar ao longo do eixo x.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico de equação z=y^2, gerado pela parábola z=y^2 no plano x=0 e prolongado ao longo do eixo x.

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