Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma superfície em
definida pela equação
Essa superfície é um cilindro parabolóide no sentido de que a equação não envolve
. Para entender e esboçar o gráfico, vamos estudar os traços em planos paralelos aos planos coordenados: planos
,
e
.
Passo 2
Traço em
.
Se fixamos (para qualquer constante
), a equação fica
Se fixamos
ou seja, em cada plano horizontal
vemos a mesma parábola que existe no plano
. Logo, as curvas de nível são parábolas voltadas para baixo, idênticas em todos os níveis
.
Passo 3
Traço em
.
Ao fixar , a equação vira
Ao fixar
independente de
. Isso descreve uma reta paralela ao eixo
passada pelo ponto
. Para cada valor de
teremos uma reta vertical cujo “
” é
.
Passo 4
Traço em
.
Ao fixar , precisamos resolver
Ao fixar
Se
não há solução real (nenhuma interseção). Se
, temos
, que dá uma reta
paralela a
. Se
, então
, gerando duas retas paralelas ao eixo
em
.
Passo 5
Esboço do gráfico.
- Desenhe a parábola
no plano . - Em cada ponto dessa parábola, “puxe” uma reta paralela ao eixo
.
O resultado é um cilindro parabólico, que é uniforme ao longo de.
Resposta
A superfície é um cilindro gerado por uma parábola
no plano
, estendida paralelamente ao eixo
.