Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
y=-x^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície em \mathbb{R}^3 definida pela equação
y = -x^2.
Essa superfície é um cilindro parabolóide no sentido de que a equação não envolve z. Para entender e esboçar o gráfico, vamos estudar os traços em planos paralelos aos planos coordenados: planos z=k, x=a e y=b.

Passo 2

Traço em z=k.
Se fixamos z=k (para qualquer constante k), a equação fica
y = -x^2,
ou seja, em cada plano horizontal z=k vemos a mesma parábola que existe no plano xy. Logo, as curvas de nível são parábolas voltadas para baixo, idênticas em todos os níveis z=k.

Passo 3

Traço em x=a.
Ao fixar x=a, a equação vira
y = -a^2,
independente de z. Isso descreve uma reta paralela ao eixo z passada pelo ponto (a,\,-a^2,\,0). Para cada valor de a teremos uma reta vertical cujo “ y” é -a^2.

Passo 4

Traço em y=b.
Ao fixar y=b, precisamos resolver
b = -x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = -b.
Se b>0 não há solução real (nenhuma interseção). Se b=0, temos x=0, que dá uma reta x=0 paralela a z. Se b<0, então x = \pm\sqrt{-b}, gerando duas retas paralelas ao eixo z em x=\pm\sqrt{-b}.

Passo 5

Esboço do gráfico.
  1. Desenhe a parábola y=-x^2 no plano xy.
  2. Em cada ponto dessa parábola, “puxe” uma reta paralela ao eixo z.
    O resultado é um cilindro parabólico, que é uniforme ao longo de z.

Resposta

A superfície é um cilindro gerado por uma parábola y=-x^2 no plano xy, estendida paralelamente ao eixo z.

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