Exercício 15 - Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
x^{2}+y^{2}=z^{2}+1
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos z=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S\subset\mathbb{R}^3 definida por
x^{2}+y^{2}=z^{2}+1.
Estamos em quadricas no espaço e vamos usar cortes (intersecções) com planos para descobrir pontos, curvas de nível e, por fim, esboçar a forma geral de S.

Passo 2

(a) Interseção com os eixos coordenados.
– Eixo x: impomos y=0 e z=0 em \,x^{2}+0^{2}=0^{2}+1, logo
x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Pontos: (1,0,0) e (-1,0,0).
– Eixo y: impomos x=0 e z=0 em \,0^{2}+y^{2}=0^{2}+1, logo
y^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad y=\pm1.
Pontos: (0,1,0) e (0,-1,0).
– Eixo z: impomos x=0 e y=0 em \,0+0=z^{2}+1, isto é z^{2}=-1, sem solução real. Não há interseção com o eixo z.

Passo 3

(b) Traços em planos coordenados.
– Plano z=0: a equação vira
x^{2}+y^{2}=1,
uma circunferência de raio 1 no plano xy.
– Plano x=0: fica
y^{2}=z^{2}+1 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}-z^{2}=1,
uma hipérbole de duas folhas no plano yz.
– Plano y=0: fica
x^{2}=z^{2}+1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-z^{2}=1,
outra hipérbole de duas folhas no plano xz.

Passo 4

(c) Traços em planos horizontais z=k (com k\in\mathbb{R}).
Para cada k fixo a equação é
x^{2}+y^{2}=k^{2}+1,
isto é uma circunferência de raio \sqrt{k^{2}+1} no plano z=k. Conforme |k| cresce, o raio aumenta.

Passo 5

(d) Esboço de S.
Juntando tudo vemos que S é um hiperbolóide de uma folha, simétrico em relação ao eixo z, com seção mínima (circunferência de raio 1) em z=0 e “alargando” para fora conforme |z| aumenta, e cujas projeções nos planos xz e yz são hipérboles.

Resposta

(a) Interseções: (\pm1,0,0), (0,\pm1,0) e nenhuma em z.
(b) Traço em z=0: x^{2}+y^{2}=1 (circunferência); em x=0: y^{2}-z^{2}=1 (hipérbole); em y=0: x^{2}-z^{2}=1 (hipérbole).
(c) Em z=k: x^{2}+y^{2}=k^{2}+1 (circunferência de raio \sqrt{k^{2}+1}).
(d) S é um hiperbolóide de uma folha, eixo no z, com seção mínima no plano z=0.

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