Exercício 15 - Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
(c) Determine e esboce os traços da superfície
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
Passo 1
O enunciado dá a superfície
definida por
Estamos em quadricas no espaço e vamos usar cortes (intersecções) com planos para descobrir pontos, curvas de nível e, por fim, esboçar a forma geral de
.
Passo 2
(a) Interseção com os eixos coordenados.
– Eixo : impomos
e
em
, logo
– Eixo
Pontos:
e
.
– Eixo : impomos
e
em
, logo
– Eixo
Pontos:
e
.
– Eixo : impomos
e
em
, isto é
, sem solução real. Não há interseção com o eixo
.
– Eixo
Passo 3
(b) Traços em planos coordenados.
– Plano : a equação vira
– Plano
uma circunferência de raio
no plano
.
– Plano : fica
– Plano
uma hipérbole de duas folhas no plano
.
– Plano : fica
– Plano
outra hipérbole de duas folhas no plano
.
Passo 4
(c) Traços em planos horizontais
(com
).
Para cada fixo a equação é
Para cada
isto é uma circunferência de raio
no plano
. Conforme
cresce, o raio aumenta.
Passo 5
(d) Esboço de
.
Juntando tudo vemos que é um hiperbolóide de uma folha, simétrico em relação ao eixo
, com seção mínima (circunferência de raio 1) em
e “alargando” para fora conforme
aumenta, e cujas projeções nos planos
e
são hipérboles.
Juntando tudo vemos que
Resposta
(a) Interseções:
,
e nenhuma em
.
(b) Traço em :
(circunferência); em
:
(hipérbole); em
:
(hipérbole).
(c) Em :
(circunferência de raio
).
(d) é um hiperbolóide de uma folha, eixo no
, com seção mínima no plano
.
(b) Traço em
(c) Em
(d)