Exercício 14. Dados os polinômios f(x) e g(x) com g(x) neq 0 e partial f>partial g, temos que a função racional f(x)g(x) (imprópria) pode ser reescrita como a soma de um polinômio com uma função racional própria, cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Para determinar esses polinômios, fazemos a divisão de f(x) por g(x) e encontramos os polinômios q(x) neq 0 e r(x) tais que f(x)=q(x) cdot g(x)+r(x), com r(x)=0 ou partial r<partial g. Agora é só substituir na função racional,
f(x)g(x)=q(x) cdot g(x)+r(x)g(x)=q(x) cdot g(x)g(x)+r(x)g(x)=q(x)+r(x)g(x)
Utilize esse procedimento para reescrever as funções racionais seguintes como somas de polinômios com funções racionais próprias.
f(x)g(x)=x^4+x^3-2 x^2+4x^3+3

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função racional imprópria
f(x)g(x) ;=;x^4+x^3-2x^2+4x^3+3
como a soma de um polinômio q(x) com uma parte racional própria tfracr(x)g(x). O conteúdo aqui é divisão de polinômios: como deg f=4>deg g=3, encontramos q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x),g(x)+r(x),
com deg r<deg g.

Passo 2

Vamos dividir f(x)=x^4 + x^3 -2x^2 +0x +4 por g(x)=x^3+0x^2+0x+3. O primeiro termo do quociente vem de
termo líder de ftermo líder de g =x^4x^3=x íí
Multiplicando g(x) por x e subtraindo de f(x), temos
xcdot g(x)=x^4+3x,
(x^4 + x^3 -2x^2 +0x +4);-;(x^4 +0x^3 +0x^2 +3x) =;x^3 -2x^2 -3x +4

Passo 3

Agora dividimos o novo termo líder x^3 por x^3, obtendo 1. Multiplicamos g(x) por 1 e subtraímos do polinômio atual:
1cdot g(x)=x^3+3,
(x^3 -2x^2 -3x +4);-;(x^3 +0x^2 +0x +3) =;-2x^2 -3x +1

Passo 4

O resto final é r(x)=-2x^2 -3x +1, cujo grau é 2, menor que deg g=3. Logo a divisão termina com
q(x)=x+1 e r(x)=-2x^2 -3x +1

Resposta

x^4+x^3-2x^2+4x^3+3 = (x+1);+;-2x^2-3x+1x^3+3

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