Problema 71 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias: .
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função racional fracionária
Este exercício cai em análise de funções reais de variável real; vamos precisar determinar domínio, interceptos, simetria, assíntotas, derivadas para monotonicidade e concavidade, além do comportamento nos limites, para então esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio e interceptos. A função exige , logo
Para intercepto em (solução de ):
Logo, há pontos e . Não há intercepto em pois não pertence ao domínio.
Simetria:
ou seja, é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Assíntotas.
– Vertical em , pois há divisão por zero.
– Oblíqua em : escrevemos
logo a reta
y = x
é assíntota oblíqua.
Passo 4
Monotonicidade pela derivada primeira:
y' = ddxl(x - tfrac1xr) = 1 + 1x^2
Como tfrac1x^2>0 para todo xneq0, temos y'>0 em cada ramo do domínio. Portanto, f é estritamente crescente em (-infty,0) e em (0,infty).
Passo 5
Concavidade pela derivada segunda:
y'' = ddxl(1 + tfrac1x^2r) = -2x^3
Assim, y''>0 se x<0 (côncavo para cima em (-infty,0)) e y''<0 se x>0 (côncavo para baixo em (0,infty)).
confirmando a assíntota vertical x=0 e a oblíqua y=x.
Passo 7
Esboço do gráfico:
– Trace a reta vertical x=0 (assíntota) e a oblíqua y=x.
– Ramo em x>0: a curva parte de yto-infty em xto0^+, é crescente e côncava para baixo, passa em (1,0) e, ao ir para +infty, aproxima-se de y=x por baixo.
– Ramo em x<0: a curva parte de yto-infty em xto-infty, aproximando-se de y=x por cima, é crescente e côncava para cima, cruza em (-1,0) e dispara para +infty em xto0^-.
A simetria ímpar garante que o ramo esquerdo é reflexo do direito pela origem.
Resposta
O gráfico de y = x - tfrac1x apresenta: bul<=t Assíntota vertical x=0. bul<=t Assíntota oblíqua y=x. bul<=t Interceptos (1,0) e (-1,0). bul<=t Função estritamente crescente em cada ramo. bul<=t Concavidade para cima em x<0 e para baixo em x>0.
Com esses elementos, obtém-se o esboço típico com dois ramos simétricos ímparmente.