Exercício 2.4.14. Determine a série de Maclaurin de:
f(x)=e^{2 x}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série de Maclaurin da função f(x)=e^{2x}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=e^{2x}.
  • Queremos a série de Maclaurin, ou seja, a expansão em série de potências centrada em x=0.
  • Não há outras restrições no enunciado (domínio, ponto diferente de 0, etc.).

Passo 2

O que é a série de Maclaurin e qual a fórmula que vamos usar.
A série de Maclaurin de uma função f é a série de Taylor de f centrada em 0. A fórmula geral é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde:
  • f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=0,
  • n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n (por convenção 0!=1),
  • a soma vai de n=0 até o infinito, e cada termo é o coeficiente \frac{f^{(n)}(0)}{n!} multiplicado por x^n.
Vou aplicar essa fórmula: precisamos calcular f^{(n)}(0) para f(x)=e^{2x}.

Passo 3

Calcular as derivadas de f(x)=e^{2x} e encontrar um padrão.
Primeiras derivadas:
f(x)=e^{2x}
f'(x)=2e^{2x}
f''(x)=2\cdot 2 e^{2x}=2^2 e^{2x}
f^{(3)}(x)=2\cdot 2^2 e^{2x}=2^3 e^{2x}
Observando esse padrão, podemos justificar por indução: cada vez que derivamos e^{2x} aparece um fator 2 extra multiplicando e^{2x}. Assim, para todo n\ge 0,
f^{(n)}(x)=2^{n} e^{2x}.
Aqui f^{(0)}(x) significa a própria função f(x) (portanto f^{(0)}(x)=e^{2x}).

Passo 4

Avaliar as derivadas em x=0.
Substituindo x=0 na expressão da derivada geral:
f^{(n)}(0)=2^{n} e^{0}=2^{n}\cdot 1=2^{n}.
Logo, o coeficiente de x^n na série de Maclaurin é \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{2^{n}}{n!}.

Passo 5

Escrever a série de Maclaurin somando os termos encontrados.
Substituindo os coeficientes na fórmula da série:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}x^{n}.
Uma forma alternativa (mais compacta) é agrupar 2^{n}x^{n}=(2x)^{n}, ficando
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^{n}}{n!}.

Passo 6

Mostrar os primeiros termos e comentar sobre convergência (como verificar que a série é válida para todos os x).
Explicitação dos primeiros termos:
f(x)=1 + 2x + \frac{2^{2}}{2!}x^{2} + \frac{2^{3}}{3!}x^{3} + \cdots
ou seja
f(x)=1 + 2x + 2x^{2} + \frac{4}{3}x^{3} + \cdots.
Sobre convergência: aplicando o teste da razão aos coeficientes a_{n}=\dfrac{2^{n}}{n!}, temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{2|x|}{n+1}=0.
Como esse limite é 0 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito). Isso confirma que a expansão representa e^{2x} para qualquer x.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^{n}}{n!}

Exercícios relacionados