Exercício 2.4.8. Determine
para que a série seja convergente.
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
tais que a série
é convergente. Informações dadas e o que precisamos usar: a expressão do termo geral (produtos fatoriais até
no numerador e produtos dos pares até
no denominador) e a condição
. A missão é testar convergência da série para esses
.
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral de forma mais prática usando fatoriais. Observação das partes:
- O numerador
é exatamente . - O denominador
é o produto dos números com . Assim
Portanto o
-ésimo termo da série, que chamo de
, pode ser escrito como
Passo 3
Vou usar o teste da razão (d’Alembert), que é prático para séries com fatoriais. Lembrete didático do teste da razão:
- Se
existe e , a série converge absolutamente. - Se
(ou ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui os termos são não-negativos para, então o teste é aplicável diretamente.
Passo 4
Calculemos a razão
passo a passo, substituindo a expressão de
:
Agora simplificamos os fatoriais. Note que
. Substituindo e cancelando
:
Como
, obtemos
Passo 5
Agora analisamos o limite quando
:
Para grandes
o quociente racional
cresce como
, mais precisamente
Multiplicando por
mantemos o limite infinito. Assim
Pelo teste da razão, se o limite da razão é maior que
(aqui é
), a série diverge. Outra observação necessária: se a razão eventualmente excede
, os termos não tendem a zero; a convergência de uma série exige que os termos tendam a zero, então a série não pode convergir.
Passo 6
Conclusão prática e intuição: para qualquer
a razão entre termos sucessivos cresce sem limite e torna os termos
não nulos e crescentes em magnitude a partir de certo
. Logo a série diverge para todo
. (Se
a série é trivialmente nula, mas a pergunta pedia
.)
Resposta
Não existe
tal que a série seja convergente.