Exercício 2.4.8. Determine x>0 para que a série seja convergente.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 k} x^{2 k};

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 tais que a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k}\,x^{2k}
é convergente. Informações dadas e o que precisamos usar: a expressão do termo geral (produtos fatoriais até 2k-1 no numerador e produtos dos pares até 2k no denominador) e a condição x>0. A missão é testar convergência da série para esses x.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de forma mais prática usando fatoriais. Observação das partes:
  • O numerador 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k-1) é exatamente (2k-1)!.
  • O denominador 2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k é o produto dos k números 2j com j=1,\dots,k. Assim
2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot 2k = \prod_{j=1}^k 2j = 2^k\cdot k!.
Portanto o k-ésimo termo da série, que chamo de a_k, pode ser escrito como
a_k = \frac{(2k-1)!}{2^k\,k!}\,x^{2k}.

Passo 3

Vou usar o teste da razão (d’Alembert), que é prático para séries com fatoriais. Lembrete didático do teste da razão:
  • Se \displaystyle L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} existe e L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1 (ou L=+\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui os termos são não-negativos para x\ge0, então o teste é aplicável diretamente.

Passo 4

Calculemos a razão \dfrac{a_{k+1}}{a_k} passo a passo, substituindo a expressão de a_k:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\dfrac{(2(k+1)-1)!}{2^{\,k+1}(k+1)!}\,x^{2(k+1)}}{\dfrac{(2k-1)!}{2^k k!}\,x^{2k}} = \frac{(2k+1)!}{2^{\,k+1}(k+1)!}\cdot\frac{2^k k!}{(2k-1)!}\cdot x^2.
Agora simplificamos os fatoriais. Note que (2k+1)!=(2k+1)(2k)(2k-1)!. Substituindo e cancelando (2k-1)!:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(2k+1)(2k)(2k-1)!}{2^{\,k+1}(k+1)!}\cdot\frac{2^k k!}{(2k-1)!}\cdot x^2 = \frac{(2k+1)(2k)}{2}\cdot\frac{k!}{(k+1)!}\cdot x^2.
Como \dfrac{k!}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k+1}, obtemos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = x^2\cdot\frac{(2k+1)(2k)}{2}\cdot\frac{1}{k+1} = x^2\cdot\frac{k(2k+1)}{k+1}.

Passo 5

Agora analisamos o limite quando k\to\infty:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = x^2\cdot\frac{k(2k+1)}{k+1}.
Para grandes k o quociente racional \dfrac{k(2k+1)}{k+1} cresce como 2k, mais precisamente
\lim_{k\to\infty}\frac{k(2k+1)}{k+1}=+\infty.
Multiplicando por x^2>0 mantemos o limite infinito. Assim
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=+\infty\quad\text{para todo }x>0.
Pelo teste da razão, se o limite da razão é maior que 1 (aqui é +\infty), a série diverge. Outra observação necessária: se a razão eventualmente excede 1, os termos não tendem a zero; a convergência de uma série exige que os termos tendam a zero, então a série não pode convergir.

Passo 6

Conclusão prática e intuição: para qualquer x>0 a razão entre termos sucessivos cresce sem limite e torna os termos a_k não nulos e crescentes em magnitude a partir de certo k. Logo a série diverge para todo x>0. (Se x=0 a série é trivialmente nula, mas a pergunta pedia x>0.)

Resposta

Não existe x>0 tal que a série seja convergente.

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