Exercício 2.4.8. Determine x>0 para que a série seja convergente.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 k} \cdot \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1};

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}
é convergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão geral do k-ésimo termo é
a_k=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2k-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots(2k)}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
A tarefa é encontrar para quais x>0 a soma infinita \sum_{k=1}^\infty a_k converge.

Passo 2

Vamos simplificar a razão de produtos de pares e ímpares. Observe que
(2k)!=(1\cdot 2\cdot 3\cdots(2k))=(2\cdot 4\cdot\ldots\cdot 2k)\cdot(1\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k-1)).
Mas (2\cdot 4\cdot\ldots\cdot 2k)=2^k k!. Logo podemos isolar o produto dos ímpares:
1\cdot 3\cdot 5\cdots(2k-1)=\frac{(2k)!}{2^k k!}.

Passo 3

Substituindo essa expressão no numerador do termo a_k e usando (2\cdot 4\cdot\ldots\cdot 2k)=2^k k! no denominador, obtemos
\frac{1\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot 2k} =\frac{\dfrac{(2k)!}{2^k k!}}{2^k k!} =\frac{(2k)!}{4^k (k!)^2}.

Passo 4

Reconhecendo o coeficiente binomial central, \displaystyle \binom{2k}{k}=\frac{(2k)!}{(k!)^2}, podemos escrever o termo a_k de forma mais simples:
a_k=\frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Então a série fica
\sum_{k=1}^\infty \frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.

Passo 5

Agora reconhecemos uma série conhecida: a expansão em série de potências da função \arcsin. Há a identidade (série de Taylor centrada em 0):
\arcsin t=\sum_{k=0}^\infty \frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\cdot\frac{t^{2k+1}}{2k+1},
válida para |t|\le 1 (radio de convergência 1, com convergência também no extremo t=\pm1). Comparando com nossa série, vemos que
\sum_{k=1}^\infty \frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=\arcsin x - \underbrace{\frac{\binom{0}{0}}{4^0}\cdot\frac{x^{1}}{1}}_{=x}=\arcsin x - x,
desde que x esteja no intervalo de convergência da série de \arcsin.

Passo 6

Para concluir o intervalo de convergência podemos justificar por testes de séries: o raio de convergência da série de potências dada é 1. Uma forma rápida de ver isso é usar o comportamento assintótico do coeficiente central:
\frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi k}}\quad\text{quando }k\to\infty,
(portanto \big(\binom{2k}{k}/4^k\big)^{1/k}\to 1), e então a raiz- k (ou razão) aplicada ao termo dá limite x^2 em módulo, levando raio 1. Assim a série de potências converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 7

Falta checar o ponto de fronteira x=1 (lembrando que estamos interessados em x>0). Para x=1 o termo geral vale
a_k\Big|_{x=1}=\frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\cdot\frac{1}{2k+1}.
Usando o comportamento assintótico \binom{2k}{k}/4^k\sim 1/\sqrt{\pi k}, obtemos para k grande
a_k\Big|_{x=1}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi k}}\cdot\frac{1}{2k}\sim \frac{C}{k^{3/2}}
para alguma constante C>0. Como uma série do tipo \sum k^{-3/2} converge (p-série com p=3/2>1), concluímos que a nossa série converge também para x=1. (Isto também é consistente com a identidade \sum_{k=0}^\infty \frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\frac{1}{2k+1}=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}.)

Passo 8

Portanto o conjunto de convergência da série de interesse é |x|\le 1. Como a questão pede apenas x>0, a resposta final é
0<x\le 1.

Resposta

0<x\le 1

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