válida para |t|\le 1 (radio de convergência 1, com convergência também no extremo t=\pm1). Comparando com nossa série, vemos que
\sum_{k=1}^\infty \frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=\arcsin x - \underbrace{\frac{\binom{0}{0}}{4^0}\cdot\frac{x^{1}}{1}}_{=x}=\arcsin x - x,
desde que x esteja no intervalo de convergência da série de \arcsin.
Passo 6
Para concluir o intervalo de convergência podemos justificar por testes de séries: o raio de convergência da série de potências dada é 1. Uma forma rápida de ver isso é usar o comportamento assintótico do coeficiente central:
(portanto \big(\binom{2k}{k}/4^k\big)^{1/k}\to 1), e então a raiz-k (ou razão) aplicada ao termo dá limite x^2 em módulo, levando raio 1. Assim a série de potências converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1.
Passo 7
Falta checar o ponto de fronteira x=1 (lembrando que estamos interessados em x>0). Para x=1 o termo geral vale
para alguma constante C>0. Como uma série do tipo \sum k^{-3/2} converge (p-série com p=3/2>1), concluímos que a nossa série converge também para x=1. (Isto também é consistente com a identidade \sum_{k=0}^\infty \frac{\binom{2k}{k}}{4^k}\frac{1}{2k+1}=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}.)
Passo 8
Portanto o conjunto de convergência da série de interesse é |x|\le 1. Como a questão pede apenas x>0, a resposta final é