Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
. - Os termos são positivos para todo
: . - A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da soma infinita dos
.
Passo 2
Escolha do método. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test). Por que esse teste?
- Observando o termo
nota-se que, para grande, o comportamento principal vem de . Então é natural comparar com a série harmônica . - Enunciação do teste (explicado): seja
e duas sequências de termos positivos. Se existir o limite com (ou seja, finito e positivo), então as séries e têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem. - Aqui vou tomar
(a série é a série harmônica, conhecida por divergir). A estratégia será calcular .
Passo 3
Cálculo do limite do quociente entre os termos.
Agora calculamos o limite quando
:
Portanto, o limite
existe e vale
, que é finito e positivo. Isso coloca as hipóteses do teste da comparação por limite satisfeitas.
Passo 4
Usar o resultado do passo anterior com a informação sobre a série comparadora.
- A série comparadora escolhida foi a harmônica
. - É um fato clássico (e importante lembrar para a prova) que a série harmônica diverge. Uma demonstração rápida por agrupamento:
escrevendo as somas parciais em blocos de tamanho potência de, Em cada bloco a soma é maior ou igual a . Por exemplo, e assim por diante. Há blocos não triviais até , então que tende a quando . Logo a série harmônica diverge.
Passo 5
Conclusão pelo teste da comparação por limite.
- Como no Passo 3 obtivemos
e sabendo que diverge (Passo 4), o teste da comparação por limite garante que a série também diverge. - Observação didática importante: apesar de
(porque ), isso não é suficiente para garantir a convergência da série — é apenas uma condição necessária. O comportamento assintótico (comparação com ) é o que decide aqui.
Resposta
A série diverge.