Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+1}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}.
  • Os termos são positivos para todo n\in\mathbb{N}: \,a_{n}>0.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da soma infinita dos a_{n}.

Passo 2

Escolha do método. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test). Por que esse teste?
  • Observando o termo \dfrac{n}{n^{2}+1} nota-se que, para n grande, o comportamento principal vem de \dfrac{n}{n^{2}}=\dfrac{1}{n}. Então é natural comparar com a série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
  • Enunciação do teste (explicado): seja \{a_{n}\} e \{b_{n}\} duas sequências de termos positivos. Se existir o limite L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}com 0<L<\infty (ou seja, L finito e positivo), então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
  • Aqui vou tomar \displaystyle b_{n}=\frac{1}{n} (a série \sum b_{n} é a série harmônica, conhecida por divergir). A estratégia será calcular L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

Passo 3

Cálculo do limite do quociente entre os termos.
\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\dfrac{n}{n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n}}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}=1.
Portanto, o limite L existe e vale L=1, que é finito e positivo. Isso coloca as hipóteses do teste da comparação por limite satisfeitas.

Passo 4

Usar o resultado do passo anterior com a informação sobre a série comparadora.
  • A série comparadora escolhida foi a harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
  • É um fato clássico (e importante lembrar para a prova) que a série harmônica diverge. Uma demonstração rápida por agrupamento:
    escrevendo as somas parciais em blocos de tamanho potência de 2, \sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n} =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{m}}\right).Em cada bloco a soma é maior ou igual a \dfrac{1}{2}. Por exemplo, \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2},\qquad \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2},e assim por diante. Há m blocos não triviais até 2^{m}, então \sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n}\ge 1+\frac{m}{2},que tende a +\infty quando m\to\infty. Logo a série harmônica diverge.

Passo 5

Conclusão pelo teste da comparação por limite.
  • Como no Passo 3 obtivemos \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=1\in(0,\infty),e sabendo que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge (Passo 4), o teste da comparação por limite garante que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}também diverge.
  • Observação didática importante: apesar de \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 (porque \dfrac{n}{n^{2}+1}\sim\dfrac{1}{n}), isso não é suficiente para garantir a convergência da série — é apenas uma condição necessária. O comportamento assintótico (comparação com \dfrac{1}{n}) é o que decide aqui.

Resposta

A série diverge.

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