Exercício 14: Dê o domínio das funções.
Passo 1
O enunciado pede: “Dê o domínio da função” e nos fornece a função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador
está bem definido para todos os (pois polinômios e são definidos em toda parte). - O denominador é uma raiz quadrada
e fica no denominador da fração. Portanto: - o radicando deve ser não negativo para a raiz existir como número real;
- como esse
está no denominador, o radicando não pode ser zero (pois não podemos dividir por zero).
- Conclusão imediata sobre o que precisamos achar: todos os pares
tais que o radicando seja estritamente positivo.
Passo 2
Escrevemos a condição de existência (radicando estritamente positivo):
Fatoramos o termo à esquerda. Primeiro notamos um fator comum
. Fazendo a fatoração:
Portanto a condição vira
Passo 3
Simplificamos o sinal. Como
, multiplicar por
inverte a desigualdade. Dividindo por
(ou multiplicando por
) obtemos uma condição equivalente, mais simples:
Ou seja, o produto de três fatores
,
e
deve ser negativo. Agora vamos resolver essa desigualdade usando uma análise de sinais por intervalos em
.
Passo 4
Análise por intervalos de
. Observamos os pontos críticos onde algum fator se anula:
e
. Esses valores não podem pertencer ao domínio porque tornariam o produto igual a zero (e precisamos
). Consideramos três intervalos para
:
-
Se
: então e . Então o produto é positivo (negativo vezes negativo = positivo). Para que com é necessário que . Logo, quando o domínio exige . -
Se
: então e . Então . Para que com é necessário que . Logo, quando o domínio exige . -
Se
: então e . Então . Para que com é necessário que . Logo, quando o domínio exige .
Também notamos que
não é permitido em nenhum caso, porque se
o produto
e a desigualdade estrita não seria satisfeita (além disso o denominador seria zero).
Passo 5
Juntando os três casos, o domínio é a união das seguintes regiões:
-
, -
, -
.
Em forma compacta podemos também escrever o domínio como