Exercício 14: Dê o domínio das funções.
f(x, y)=\frac{x^{2}+5 y+\operatorname{sen} x y}{\sqrt{-3 x y^{2}+27 x y}}

Passo 1

O enunciado pede: “Dê o domínio da função” e nos fornece a função
f(x,y)=\frac{x^{2}+5y+\operatorname{sen} x\,y}{\sqrt{-3xy^{2}+27xy}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  1. O numerador x^{2}+5y+\operatorname{sen} x\,y está bem definido para todos os (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (pois polinômios e \operatorname{sen} são definidos em toda parte).
  2. O denominador é uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} e fica no denominador da fração. Portanto:
    • o radicando deve ser não negativo para a raiz existir como número real;
    • como esse \sqrt{\cdot} está no denominador, o radicando não pode ser zero (pois não podemos dividir por zero).
  3. Conclusão imediata sobre o que precisamos achar: todos os pares (x,y) tais que o radicando seja estritamente positivo.

Passo 2

Escrevemos a condição de existência (radicando estritamente positivo):
-3xy^{2}+27xy>0.
Fatoramos o termo à esquerda. Primeiro notamos um fator comum -3xy. Fazendo a fatoração:
-3xy^{2}+27xy = -3xy\,(y-9).
Portanto a condição vira
-3xy\,(y-9)>0.

Passo 3

Simplificamos o sinal. Como -3<0, multiplicar por -1 inverte a desigualdade. Dividindo por -3 (ou multiplicando por -1) obtemos uma condição equivalente, mais simples:
xy\,(y-9)<0.
Ou seja, o produto de três fatores x, y e (y-9) deve ser negativo. Agora vamos resolver essa desigualdade usando uma análise de sinais por intervalos em y.

Passo 4

Análise por intervalos de y. Observamos os pontos críticos onde algum fator se anula: y=0 e y=9. Esses valores não podem pertencer ao domínio porque tornariam o produto igual a zero (e precisamos <0). Consideramos três intervalos para y:
  1. Se y<0: então y<0 e y-9<0. Então o produto y(y-9) é positivo (negativo vezes negativo = positivo). Para que x\cdot [y(y-9)]<0 com [y(y-9)]>0 é necessário que x<0. Logo, quando y<0 o domínio exige x<0.
  2. Se 0<y<9: então y>0 e y-9<0. Então y(y-9)<0. Para que x\cdot [y(y-9)]<0 com [y(y-9)]<0 é necessário que x>0. Logo, quando 0<y<9 o domínio exige x>0.
  3. Se y>9: então y>0 e y-9>0. Então y(y-9)>0. Para que x\cdot [y(y-9)]<0 com [y(y-9)]>0 é necessário que x<0. Logo, quando y>9 o domínio exige x<0.
Também notamos que x=0 não é permitido em nenhum caso, porque se x=0 o produto xy(y-9)=0 e a desigualdade estrita não seria satisfeita (além disso o denominador seria zero).

Passo 5

Juntando os três casos, o domínio é a união das seguintes regiões:
  • \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y<0,\;x<0\},
  • \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0<y<9,\;x>0\},
  • \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>9,\;x<0\}.
Em forma compacta podemos também escrever o domínio como
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy(y-9)<0\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0<y<9,\;x>0\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y<0,\;x<0\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>9,\;x<0\}

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