Exercício 13: Mostre graficamente que não existem os limites de funções reais de duas variáveis no ponto indicado. \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{y(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar graficamente que não existe o limite
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{y(x-1)}{(x-1)^2+y^2}.
Informações dadas e o que é pedido:
f(x,y)=\frac{y(x-1)}{(x-1)^2+y^2},
o ponto de interesse é (1,0). Note que em (1,0) o denominador é zero, então a função não está definida exatamente ali; a questão é verificar se, ao nos aproximarmos de (1,0) por diferentes caminhos, o valor de f(x,y) tende a um mesmo número (então o limite existe) ou tende a valores diferentes (então o limite não existe). Neste passo apenas listei o que foi dado e o que se pede; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Ideia de prova usada (justificativa do método): para provar que o limite não existe é suficiente encontrar duas trajetórias (dois caminhos) de aproximação a (1,0) ao longo dos quais os valores de f convergem a números diferentes. Isso vem do fato geral: se \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y)=L existisse, então para qualquer caminho que leve a (1,0) os valores de f deveriam tender a L. Portanto, caminhos com limites diferentes provam a não existência do limite.
Passo 3
Fazer uma mudança de variável para simplificar a escrita e pensar geometricamente. Defina
u=x-1,\qquad v=y.
Então (x,y)\to(1,0) corresponde a (u,v)\to(0,0), e a função fica
g(u,v)=\frac{uv}{u^2+v^2}.
Aqui a ideia é centrar o sistema no ponto de interesse (origem em (u,v)). A resolução será feita analisando g quando (u,v)\to(0,0).
Passo 4
Avaliar g ao longo de retas passantes pela origem em coordenadas (u,v). Considere a reta v= m u, com m constante (essa reta em (u,v) corresponde à reta y=m(x-1) em (x,y)). Substituindo v=m u em g obtemos
g(u,mu)=\frac{u\cdot (m u)}{u^2+(m u)^2}.
Agora simplifico passo a passo: o numerador é m u^2. O denominador é u^2 + m^2 u^2 = u^2(1+m^2). Assim
g(u,mu)=\frac{m u^2}{u^2(1+m^2)}=\frac{m}{1+m^2},
desde que u\neq 0. Importante: esse valor não depende de u (ou seja, não depende de quão perto da origem na direção escolhida estamos), depende apenas do coeficiente angular m. Isso já é um forte sinal gráfico: ao aproximar-se da origem ao longo de uma certa reta, chegamos a um valor constante que depende da direção.
Passo 5
Escolher valores específicos de m para mostrar diferenças explícitas. Para m=0 (reta v=0, isto é y=0 em (x,y)) temos
Logo, aproximando (x,y) para (1,0) pela reta y=0 o valor de f tende a 0, enquanto aproximando pela reta y=x-1 tende a 1/2. Como esses são valores diferentes, o limite não pode existir.
Passo 6
Interpretação polar (explica graficamente de forma mais global): em (u,v) use coordenadas polares u=r\cos\theta, v=r\sin\theta. Então
para r>0. Observe que g(r,\theta) é independente de r e depende só de \theta. Graficamente isto significa que, ao fixar uma direção \theta e aproximar-se da origem (fazer r\to 0), o valor da função tende a \tfrac{1}{2}\sin(2\theta). Como \tfrac{1}{2}\sin(2\theta) assume valores diferentes para diferentes \theta (por exemplo, \theta=0 dá 0, \theta=\pi/4 dá 1/2, \theta=-\pi/4 dá -1/2), a imagem dos ângulos é uma faixa contínua de valores entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}. Isso é a explicação “gráfica”: ao redor de (1,0) a função toma valores que variam conforme a direção de aproximação, não se aproximando a um único número.
Passo 7
Concluir com o argumento lógico final: como existem trajetórias (por exemplo y=0 e y=x-1) para as quais os limites ao aproximar-se de (1,0) são diferentes (0 e 1/2, respectivamente), pelo passo 2 a hipótese de existência de um único limite é contradita. Portanto o limite não existe.