Exercício 14: Dê o domínio das funções.
h(x, y, z)=\sqrt{2 y x^{2} z-3 y z^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função h(x,y,z)=\sqrt{2\,y\,x^{2}z-3\,y\,z^{3}}.
Informações dadas: a função é definida em \mathbb{R}^{3} por essa fórmula; queremos os pontos (x,y,z) para os quais h está bem definida como número real.

Passo 2

Regra importante (aulas rápidas!): a raiz quadrada real \sqrt{\cdot} exige que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos da condição
2\,y\,x^{2}z-3\,y\,z^{3}\ge 0.
Isso é a única restrição para o domínio, porque não há divisão por zero nem logaritmo — só a raiz.

Passo 3

Vamos fatorar o radicando para facilitar a análise. Repare que há fatores comuns y e z:
2\,y\,x^{2}z-3\,y\,z^{3}=y\,z\,(2\,x^{2}-3\,z^{2}).
Mostrei a fatoração: tirei y z como fator comum e sobrou 2x^2-3z^2.

Passo 4

Substituindo na condição de domínio, obtemos a inequação
y\,z\,(2\,x^{2}-3\,z^{2})\ge 0.
Isso significa que o produto de três termos deve ser não negativo. Um produto é não negativo se for zero ou se tiver um número par de fatores negativos (ou todos positivos).

Passo 5

Analisamos casos para entender melhor a região:
  • Se \,y=0 então o produto é 0 e a desigualdade é satisfeita para todo x,z. Logo todos os pontos com \,y=0 pertencem ao domínio.
  • Se \,z=0 então o produto é 0 e a desigualdade é satisfeita para todo x,y. Logo todos os pontos com \,z=0 pertencem ao domínio.
  • Se \,y z>0 (isto é, y e z têm o mesmo sinal) então, dividindo por y z>0, a condição equivale a
2\,x^{2}-3\,z^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\ge \frac{3}{2}\,z^{2}.
Isto pode ser escrito como |x|\ge \sqrt{\tfrac{3}{2}}\,|z|. Nessa região (mesmo sinal de y e z) só são permitidos pontos em que x esteja suficientemente “longe” de zero em relação a z.
  • Se \,y z<0 (isto é, y e z têm sinais opostos) então, dividindo por y z<0 muda o sentido da desigualdade e obtemos
2\,x^{2}-3\,z^{2}\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le \frac{3}{2}\,z^{2},
ou seja |x|\le \sqrt{\tfrac{3}{2}}\,|z|. Nessa região (sinais opostos) x deve estar “próximo” de zero relativo a z.
Observe que as igualdades (casos com produto igual a zero) já estão incluídas nas descrições acima.

Passo 6

Agora juntamos tudo em uma descrição compacta e em uma forma fatorada intuitiva. A forma mais direta e correta do domínio é escrever a condição que já obtivemos:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y\,z\,(2\,x^{2}-3\,z^{2})\ge 0\}.
Se você quiser uma descrição por casos:
D=\{(x,y,z)\mid y=0\}\\ \cup\\ \{(x,y,z)\mid z=0\}\\ \cup\\ \big\{(x,y,z)\mid y z>0,\\ x^{2}\ge\tfrac{3}{2}z^{2}\big\}\\ \cup\\ \big\{(x,y,z)\mid y z<0,\\ x^{2}\le\tfrac{3}{2}z^{2}\big\}.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • (1,0,5) pertence ao domínio (porque y=0).
  • (0,1,0) pertence (porque z=0).
  • (2,1,1): aqui y z>0 e x^{2}=4\ge \tfrac{3}{2}\cdot1^{2}=1{,}5, logo pertence.
  • (0,1,1): aqui y z>0 mas x^{2}=0<1{,}5, logo não pertence.

Resposta

D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y\,z\,(2\,x^{2}-3\,z^{2})\ge 0\}.

Exercícios relacionados