Exercício 14: Dê o domínio das funções.
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
.
Informações dadas: a função é definida em por essa fórmula; queremos os pontos
para os quais
está bem definida como número real.
Informações dadas: a função é definida em
Passo 2
Regra importante (aulas rápidas!): a raiz quadrada real
exige que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos da condição
Isso é a única restrição para o domínio, porque não há divisão por zero nem logaritmo — só a raiz.
Passo 3
Vamos fatorar o radicando para facilitar a análise. Repare que há fatores comuns
e
:
Mostrei a fatoração: tirei
como fator comum e sobrou
.
Passo 4
Substituindo na condição de domínio, obtemos a inequação
Isso significa que o produto de três termos deve ser não negativo. Um produto é não negativo se for zero ou se tiver um número par de fatores negativos (ou todos positivos).
Passo 5
Analisamos casos para entender melhor a região:
-
Se
então o produto é e a desigualdade é satisfeita para todo . Logo todos os pontos com pertencem ao domínio. -
Se
então o produto é e a desigualdade é satisfeita para todo . Logo todos os pontos com pertencem ao domínio. -
Se
(isto é, e têm o mesmo sinal) então, dividindo por , a condição equivale a
Isto pode ser escrito como
. Nessa região (mesmo sinal de
e
) só são permitidos pontos em que
esteja suficientemente “longe” de zero em relação a
.
- Se
(isto é, e têm sinais opostos) então, dividindo por muda o sentido da desigualdade e obtemos
ou seja
. Nessa região (sinais opostos)
deve estar “próximo” de zero relativo a
.
Observe que as igualdades (casos com produto igual a zero) já estão incluídas nas descrições acima.
Passo 6
Agora juntamos tudo em uma descrição compacta e em uma forma fatorada intuitiva. A forma mais direta e correta do domínio é escrever a condição que já obtivemos:
Se você quiser uma descrição por casos:
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
-
pertence ao domínio (porque ). -
pertence (porque ). -
: aqui e , logo pertence. -
: aqui mas , logo não pertence.