Exercício 15 (ELJ 87)
Para cada (x, y) in R^2, considere f: R R dado por f(z)=z e^x y+z^3(x^2+y^2)-1. Mostre que:
a) f é estritamente crescente e existe um único z=z(x, y) tal que f(z)=0.
b) A função z: R^2 R acima é de classe C^infty.

Passo 1

O enunciado define, para cada (x,y)inR^2, a função
f(z)=z,e^xy+z^3(x^2+y^2)-1
no variável real z, e pede:
a) mostrar que f é estritamente crescente e que existe exatamente um z tal que f(z)=0;
b) provar que a aplicação (x,y)mapsto z(x,y) é de classe C^infty.
Para resolver usaremos propriedade de monotonicidade via derivada e, depois, o Teorema da Função Implícita.

Passo 2

Calculemos a derivada de f em relação a z:
partial fpartial z(z) = ddzl(z,e^xy+z^3(x^2+y^2)-1r) = e^xy+3,z^2,(x^2+y^2)
Como e^xy>0 para todo (x,y) e 3,z^2(x^2+y^2)>=0, segue que
partial fpartial z(z)>0 para todo zinR
Isto mostra que f é estritamente crescente. Além disso,
limzto-inftyf(z)=-infty, limzto+inftyf(z)=+infty,
e f é contínua, logo pelo Teorema do Valor Intermediário existe exatamente um z tal que f(z)=0.

Passo 3

Definindo a função
F(z,x,y)=z,e^xy+z^3(x^2+y^2)-1,
vemos que F é C^infty em (z,x,y) e que
partial Fpartial z(z,x,y) = e^xy+3,z^2(x^2+y^2)>0
em todo ponto. Pelo Teorema da Função Implícita, ao resolver F(z,x,y)=0 isolamos uma aplicação z=z(x,y) de classe C^infty em (x,y).

Resposta

a) f'(z)=e^xy+3z^2(x^2+y^2)>0, logo f é estritamente crescente e, pelos limites em pminfty, existe um único z com f(z)=0.
b) Como partial f/partial z>0 e f é C^infty, o Teorema da Função Implícita garante que z(x,y) é de classe C^infty.

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