Exercício 15 (ELJ 87)
Para cada
, considere
dado por
. Mostre que:
a)
é estritamente crescente e existe um único
tal que
.
b)
função
acima é de classe
.
Para cada
a)
b)
Passo 1
O enunciado define, para cada
, a função
no variável real
, e pede:
a) mostrar que é estritamente crescente e que existe exatamente um
tal que
;
b) provar que a aplicação é de classe
.
Para resolver usaremos propriedade de monotonicidade via derivada e, depois, o Teorema da Função Implícita.
a) mostrar que
b) provar que a aplicação
Para resolver usaremos propriedade de monotonicidade via derivada e, depois, o Teorema da Função Implícita.
Passo 2
Calculemos a derivada de
em relação a
:
Como
para todo
e
, segue que
Isto mostra que
é estritamente crescente. Além disso,
e
é contínua, logo pelo Teorema do Valor Intermediário existe exatamente um
tal que
.
Passo 3
Definindo a função
vemos que
é
em
e que
em todo ponto. Pelo Teorema da Função Implícita, ao resolver
isolamos uma aplicação
de classe
em
.
Resposta
a)
, logo
é estritamente crescente e, pelos limites em
, existe um único
com
.
b) Como e
é
, o Teorema da Função Implícita garante que
é de classe
.
b) Como