Exercício 15. Dados U, W subespaços vetoriais do espaço vetorial real (V,+, \cdot), determinar:
(i) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial U
(ii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial W
(iii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial U+W
(iv) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial U \cap W
em cada um dos seguintes casos:
(a) U \doteq\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=0\right\}, W \doteq\{(x, y, 0) ; x, y \in \mathbb{R}\} e V \doteq \mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais.
(b) U \doteq\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; \operatorname{tr}(A)=0\right\}, W \doteq\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A^{t}=-A\right\} e V \doteq M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, onde \operatorname{tr}(A) denota a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A, chamado de traço da matriz A.
(c) U \doteq\left\{p(t) \in V ; p^{\prime}(t)=0\right. para todo \left.t \in \mathbb{R}\right\}, W \doteq\{p(t) \in V ; p(0)=p(1)\} e V \doteq \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado trata de encontrar, para cada caso ((a), (b) e (c)), as bases e dimensões dos subespaços U, W, da soma U+W e da interseção U\cap W. Vamos usar fatos de Álgebra Linear sobre subespaços:
– Para achar uma base, resolvemos as condições definidoras de U e W para expressar vetores em função de parâmetros livres.
– Dimensão é o número de vetores de uma base.
– A fórmula
\dim(U+W)=\dim U + \dim W - \dim(U\cap W)
ajuda a confirmar a dimensão da soma.

Passo 2

Caso (a), subespaço
U = \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 : x+y+z=0\}.
Impondo z=-x-y, todo vetor em U é (x,y,-x-y)=x\,(1,0,-1)+y\,(0,1,-1). Logo
base de U: \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}
e \dim U=2.

Passo 3

Caso (a), subespaço
W = \{(x,y,0):x,y\in\mathbb R\}.
Todo vetor em W é x\,(1,0,0)+y\,(0,1,0). Logo
base de W: \{(1,0,0),(0,1,0)\}
e \dim W=2.

Passo 4

Caso (a), soma U+W.
Primeiro encontramos U\cap W: vetores em W satisfazem z=0 e em U têm x+y+z=0, logo x+y=0. Assim
U\cap W = \{(x,-x,0):x\in\mathbb R\} = \operatorname{span}\{(1,-1,0)\},
com \dim(U\cap W)=1.
Pela fórmula, \dim(U+W)=2+2-1=3.
Como \dim\mathbb R^3=3, concluímos U+W=\mathbb R^3 e podemos usar a base padrão, por exemplo \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 5

Caso (a), interseção U\cap W já achada no passo anterior:
base \{(1,-1,0)\} e \dim(U\cap W)=1.

Passo 6

Caso (b), subespaço
U = \{A\in M_2(\mathbb R):\tr(A)=0\}.
Uma matriz genérica é \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} com a+d=0, ou d=-a. Então
A = a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Logo base de U: \{\,E_{11}-E_{22},E_{12},E_{21}\}
e \dim U=3.

Passo 7

Caso (b), subespaço
W = \{A\in M_2(\mathbb R):A^t=-A\}.
Matrizes antissimétricas têm forma \begin{pmatrix}0&\alpha\\\ -\alpha&0\end{pmatrix}=\alpha\,(E_{12}-E_{21}).
Logo base de W: \{E_{12}-E_{21}\} e \dim W=1.

Passo 8

Caso (b), soma U+W.
Como toda matriz antissimétrica tem traço zero, W\subset U. Logo U+W=U, de dimensão 3, e mantém a base de U.

Passo 9

Caso (b), interseção U\cap W.
Já que W\subset U, temos U\cap W=W. Logo
base de U\cap W: \{E_{12}-E_{21}\} e \dim(U\cap W)=1.

Passo 10

Caso (c), subespaço
U = \{p\in\mathscr P_2(\mathbb R):p'(t)=0\;\forall t\},
isto é, polinômios constantes. Base: \{1\}, \dim U=1.

Passo 11

Caso (c), subespaço
W = \{p\in\mathscr P_2(\mathbb R):p(0)=p(1)\}.
Escrevendo p(t)=at^2+bt+c, a condição p(0)=c=p(1)=a+b+c a+b=0, ou b=-a. Assim
p(t)=a(t^2-t)+c\cdot1,
e uma base é \{\,t^2-t,\;1\}, com \dim W=2.

Passo 12

Caso (c), soma U+W.
Como 1\in W, temos U\subset W, logo U+W=W. Assim \dim(U+W)=2 e base permanece \{t^2-t,1\}.

Passo 13

Caso (c), interseção U\cap W.
Como U são constantes e toda constante satisfaz p(0)=p(1), segue U\cap W=U. Logo base \{1\} e \dim(U\cap W)=1.

Resposta

(a)
(i) Base de U: \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}, \dim U=2.
(ii) Base de W: \{(1,0,0),(0,1,0)\}, \dim W=2.
(iii) U+W=\mathbb R^3, base por exemplo \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \dim(U+W)=3.
(iv) Base de U\cap W: \{(1,-1,0)\}, \dim(U\cap W)=1.
(b)
(i) Base de U: \{E_{11}-E_{22},E_{12},E_{21}\}, \dim U=3.
(ii) Base de W: \{E_{12}-E_{21}\}, \dim W=1.
(iii) U+W=U, base \{E_{11}-E_{22},E_{12},E_{21}\}, \dim(U+W)=3.
(iv) U\cap W=W, base \{E_{12}-E_{21}\}, \dim(U\cap W)=1.
(c)
(i) Base de U: \{1\}, \dim U=1.
(ii) Base de W: \{t^2-t,1\}, \dim W=2.
(iii) U+W=W, base \{t^2-t,1\}, \dim(U+W)=2.
(iv) U\cap W=U, base \{1\}, \dim(U\cap W)=1.

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