Exercício 15. Dados
subespaços vetoriais do espaço vetorial real
, determinar:
(i) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial
(ii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial
(iii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial
(iv) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial
em cada um dos seguintes casos:
(a)
e
, munido das operações usuais.
(b)
e
, munido das operações usuais, onde
denota a soma dos elementos da diagonal principal da matriz
, chamado de traço da matriz
.
(c)
para todo
e
, munido das operações usuais.
(i) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial
(ii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial
(iii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial
(iv) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial
em cada um dos seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado trata de encontrar, para cada caso ((a), (b) e (c)), as bases e dimensões dos subespaços
,
, da soma
e da interseção
. Vamos usar fatos de Álgebra Linear sobre subespaços:
– Para achar uma base, resolvemos as condições definidoras de e
para expressar vetores em função de parâmetros livres.
– Dimensão é o número de vetores de uma base.
– A fórmula
– Para achar uma base, resolvemos as condições definidoras de
– Dimensão é o número de vetores de uma base.
– A fórmula
ajuda a confirmar a dimensão da soma.
Passo 2
Caso (a), subespaço
Impondo
, todo vetor em
é
. Logo
base de :
e .
base de
e
Passo 3
Caso (a), subespaço
Todo vetor em
é
. Logo
base de :
e .
base de
e
Passo 4
Caso (a), soma
.
Primeiro encontramos : vetores em
satisfazem
e em
têm
, logo
. Assim
Primeiro encontramos
com
.
Pela fórmula, .
Como , concluímos
e podemos usar a base padrão, por exemplo
.
Pela fórmula,
Como
Passo 5
Caso (a), interseção
já achada no passo anterior:
base e
.
base
Passo 6
Caso (b), subespaço
Uma matriz genérica é
com
, ou
. Então
Logo base de
:
e .
e
Passo 7
Caso (b), subespaço
Matrizes antissimétricas têm forma
.
Logo base de :
e
.
Logo base de
Passo 8
Caso (b), soma
.
Como toda matriz antissimétrica tem traço zero, . Logo
, de dimensão
, e mantém a base de
.
Como toda matriz antissimétrica tem traço zero,
Passo 9
Caso (b), interseção
.
Já que , temos
. Logo
base de :
e
.
Já que
base de
Passo 10
Caso (c), subespaço
isto é, polinômios constantes. Base:
,
.
Passo 11
Caso (c), subespaço
Escrevendo
, a condição
dá
, ou
. Assim
e uma base é
, com
.
Passo 12
Caso (c), soma
.
Como , temos
, logo
. Assim
e base permanece
.
Como
Passo 13
Caso (c), interseção
.
Como são constantes e toda constante satisfaz
, segue
. Logo base
e
.
Como
Resposta
(a)
(i) Base de :
,
.
(ii) Base de :
,
.
(iii) , base por exemplo
,
.
(iv) Base de :
,
.
(i) Base de
(ii) Base de
(iii)
(iv) Base de
(b)
(i) Base de :
,
.
(ii) Base de :
,
.
(iii) , base
,
.
(iv) , base
,
.
(i) Base de
(ii) Base de
(iii)
(iv)
(c)
(i) Base de :
,
.
(ii) Base de :
,
.
(iii) , base
,
.
(iv) , base
,
.
(i) Base de
(ii) Base de
(iii)
(iv)