Exercício 14. Encontrar em cada um dos itens abaixo uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ).
Sejam A \doteq\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), W \doteq\left\{X \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A X=X A\right\} e V \doteq M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar uma base e a dimensão do subespaço
W = \{\,X\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A X = X A\},
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
e V = M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais. A ideia é escrever um X genérico em M_2(\mathbb{R}), impor AX=XA e ver quantos graus de liberdade sobram.]

Passo 2

Seja
X = \begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}.
Calculamos
A X = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\[3pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\[4pt] x_{11}+x_{21} & x_{12}+x_{22} \end{pmatrix},
X A = \begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\[3pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11}+x_{12} & x_{12} \\[4pt] x_{21}+x_{22} & x_{22} \end{pmatrix}.
Igualando A X = X A nas quatro entradas, obtemos
x_{12}=0, \quad x_{11}=x_{22},
sem outras restrições. Logo
X = \begin{pmatrix}\alpha & 0 \\[4pt] \gamma & \alpha\end{pmatrix},
com \alpha,\gamma\in\mathbb{R}.]

Passo 3

A forma geral de X tem dois parâmetros livres \alpha e \gamma, então \dim W = 2. Uma escolha natural de base é:
E_{1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad E_{2} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
pois todo X se escreve como \alpha\,E_{1} + \gamma\,E_{2}.]

Resposta

Uma base de W é
\bigl\{\,E_{1},E_{2}\bigr\} \quad\text{onde}\quad E_{1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \; E_{2} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
e \dim W = 2.]

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