Exercício 14. Esboce as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais - indicando o sentido de percurso - e determine suas equações cartesianas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) esboçar a curva traçada pela função vetorial
, indicando o sentido do percurso; (2) determinar a equação cartesiana dessa curva.
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
- A função vetorial é
. - A componente
implica que o parâmetro tem domínio .
Passo 2
Vou calcular alguns pontos da curva para ter uma ideia do desenho e do sentido:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Limites: quando
tem-se e . Portanto a curva vai para a direita e para baixo sem limite.
Esses pontos já mostram que o ponto inicial (para
) é
e que, com
crescendo, o ponto anda para a direita enquanto o
decresce.
Passo 3
Agora converto a parametrização para uma equação em
e
. Defino as componentes:
Da primeira equação isolamos
em função de
:
lembrando que
implica
. Substituo
na expressão de
:
Portanto a relação cartesiana é
com a condição de domínio
Passo 4
Interpretação geométrica e esboço mental:
- A equação
é uma parábola voltada para baixo, com vértice em . - Como exigimos
, a porção traçada pela parametrização é apenas a metade direita dessa parábola (o ramo para ). - Sentido do percurso: para
aumentando a partir de , aumenta (vai para a direita) e diminui (vai para baixo). Logo a seta de orientação parte de em e segue para a direita ao longo da parábola, descendo indefinidamente quando .
Passo 5
Informações úteis para a prova (derivadas e tangente):
- Derivada temporal (vetor velocidade), para
:
- A inclinação da tangente (derivada
) pode ser obtida por
Usando
obtemos a forma simples
que é a derivada da curva cartesiana
. Em particular, no vértice
a inclinação é
(tangente horizontal). Observação técnica: em
temos
(a componente
não existe finita), mas
tende a
; geometricamente a curva tem tangente horizontal no vértice e a parametrização não é regular no ponto
.
Passo 6
Resumo prático para usar na prova: se te derem
, lembra de (1) restringir
; (2) substituir
para achar
em função de
; (3) indicar que é o ramo direito da parábola
e que o sentido é de
para a direita e para baixo quando
aumenta.
Resposta
O sentido do percurso é de