Exercício 14. Esboce as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais - indicando o sentido de percurso - e determine suas equações cartesianas:
\vec{r}(t)=\langle\sqrt{t}, 1-t\rangle

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) esboçar a curva traçada pela função vetorial \vec{r}(t)=\langle\sqrt{t},\,1-t\rangle, indicando o sentido do percurso; (2) determinar a equação cartesiana dessa curva.
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • A função vetorial é \vec{r}(t)=\langle\sqrt{t},\,1-t\rangle.
  • A componente x(t)=\sqrt{t} implica que o parâmetro t tem domínio \,t\ge 0.

Passo 2

Vou calcular alguns pontos da curva para ter uma ideia do desenho e do sentido:
  • Para t=0: \vec{r}(0)=\langle\sqrt{0},\,1-0\rangle=\langle 0,\,1\rangle.
  • Para t=1: \vec{r}(1)=\langle\sqrt{1},\,1-1\rangle=\langle 1,\,0\rangle.
  • Para t=4: \vec{r}(4)=\langle\sqrt{4},\,1-4\rangle=\langle 2,\,-3\rangle.
  • Limites: quando t\to\infty tem-se \sqrt{t}\to\infty e 1-t\to -\infty. Portanto a curva vai para a direita e para baixo sem limite.
Esses pontos já mostram que o ponto inicial (para t=0) é (0,1) e que, com t crescendo, o ponto anda para a direita enquanto o y decresce.

Passo 3

Agora converto a parametrização para uma equação em x e y. Defino as componentes:
x(t)=\sqrt{t},\qquad y(t)=1-t.
Da primeira equação isolamos t em função de x:
x=\sqrt{t}\quad\Rightarrow\quad t=x^{2},
lembrando que x=\sqrt{t} implica x\ge 0. Substituo t=x^{2} na expressão de y:
y=1-t=1-x^{2}.
Portanto a relação cartesiana é
y=1-x^{2}
com a condição de domínio
x\ge 0.

Passo 4

Interpretação geométrica e esboço mental:
  • A equação y=1-x^{2} é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,1).
  • Como exigimos x\ge 0, a porção traçada pela parametrização é apenas a metade direita dessa parábola (o ramo para x\ge 0).
  • Sentido do percurso: para t aumentando a partir de 0, x=\sqrt{t} aumenta (vai para a direita) e y=1-t diminui (vai para baixo). Logo a seta de orientação parte de (0,1) em t=0 e segue para a direita ao longo da parábola, descendo indefinidamente quando t\to\infty.

Passo 5

Informações úteis para a prova (derivadas e tangente):
  • Derivada temporal (vetor velocidade), para t>0:
\vec{r}\,'(t)=\left\langle \frac{1}{2\sqrt{t}},\, -1\right\rangle.
  • A inclinação da tangente (derivada dy/dx) pode ser obtida por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{-1}{\tfrac{1}{2\sqrt{t}}}=-2\sqrt{t}.
Usando x=\sqrt{t} obtemos a forma simples
\frac{dy}{dx}=-2x,
que é a derivada da curva cartesiana y=1-x^{2}. Em particular, no vértice x=0 a inclinação é 0 (tangente horizontal). Observação técnica: em t=0 temos dx/dt\to\infty (a componente x'(t) não existe finita), mas dy/dx tende a 0; geometricamente a curva tem tangente horizontal no vértice e a parametrização não é regular no ponto t=0.

Passo 6

Resumo prático para usar na prova: se te derem \vec{r}(t)=\langle\sqrt{t},\,1-t\rangle, lembra de (1) restringir t\ge 0; (2) substituir t=x^{2} para achar y em função de x; (3) indicar que é o ramo direito da parábola y=1-x^{2} e que o sentido é de (0,1) para a direita e para baixo quando t aumenta.

Resposta

y=1-x^{2},\quad x\ge 0 (ramo direito da parábola com vértice em (0,1)).
O sentido do percurso é de (0,1) para a direita e para baixo à medida que t aumenta ( t=0 em (0,1), t\to\infty vai para x\to\infty,\;y\to-\infty).

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