Exercício 15 Assinale quais frases têm o mesmo significado de:
“Todo número primo, diferente de dois, é um número ímpar.”
(a) Se algum número primo é diferente de dois, ele é ímpar.
(b) Existe pelo menos um número primo diferente de dois que é ímpar.
(c) Um número será ímpar se for primo e diferente de dois.
(d) Qualquer número primo diferente de dois é ímpar.
(e) Os números primos diferentes de dois são ímpares.
(f) Não há nenhum primo diferente de dois que não seja ímpar.
(g) Nenhum número primo é diferente de dois, a menos que seja ímpar.

Passo 1

O enunciado diz: “Todo número primo, diferente de dois, é um número ímpar.”
O que se pede: identificar quais das frases (a)–(g) têm exatamente o mesmo significado lógico que a frase acima.
Informações relevantes dadas (coloquei em forma lógica para facilitar comparações):
  • Seja P(x) a propriedade “x é primo”.
  • Seja I(x) a propriedade “x é ímpar”.
  • A condição “x é diferente de 2” escrevo x\neq 2.
A frase original pode ser formalizada assim:
\forall x\;\bigl( P(x)\wedge (x\neq 2)\;\to\; I(x)\bigr).

Passo 2

Pequena aula de lógica necessária (sem pular etapas):
  • Símbolos e significado:
    • \forall x significa "para todo x" (quantificador universal).
    • \exists x significa "existe pelo menos um x" (quantificador existencial).
    • A\to B é a implicação "se A então B". Lembre: a implicação é verdadeira sempre que A é falso (isso gera casos de verdade por vacuidade).
    • A negação de \exists x\;Q(x) é \forall x\;\neg Q(x). A negação de \forall x\;Q(x) é \exists x\;\neg Q(x).
    • A equivalência muito útil: \forall x\;(A(x)\to B(x)) é logicamente equivalente a \neg\exists x\;(A(x)\wedge \neg B(x)). Em palavras: "Para todo x, se A então B" é o mesmo que "não existe x tal que A e não B".
    • A contraposada: A\to B é equivalente a \neg B\to \neg A. Aplicada com quantificador universal: \forall x\;(A\to B) equivale a \forall x\;(\neg B\to \neg A).
Exemplo rápido para fixar:
  • A sentença \forall x\;(P(x)\wedge (x\neq 2)\to I(x)) diz: “não existe primo (diferente de 2) que seja par” — isto é, \neg\exists x\;(P(x)\wedge x\neq 2\wedge \neg I(x)).

Passo 3

Vou traduzir cada alternativa para forma lógica (ou explicar a ambiguidade) e comparar com a fórmula original.
(a) “Se algum número primo é diferente de dois, ele é ímpar.”
Interpretação natural da linguagem: a expressão “algum” costuma indicar existência ( \exists), por isso a frase é ambígua em português. Duas leituras possíveis:
  • Leitura existencial (mais natural): “Existe um número primo diferente de 2 tal que, se for considerado, ele é ímpar.” Isso tende a ser interpretado como \exists x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2 \wedge I(x)\bigr),que é exatamente a sentença da alternativa (b) abaixo. Essa leitura NÃO é equivalente à original (porque a original é universal; a existencial pode ser falsa em modelos onde não existe tal x, enquanto a universal pode ser verdadeira por vacuidade).
  • Leitura condicional universal (menos natural, mas possível): “Se um número é primo e diferente de 2, então ele é ímpar”, i.e. \forall x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2\to I(x)\bigr),que seria equivalente à original.
Conclusão para (a): a frase é ambígua; a leitura mais literal de “algum” implica existência, portanto em contexto lógico-testes não é equivalente. Assim, NÃO consideramos (a) equivalente (pela ambiguidade e pelo sentido mais natural de “algum”).

Passo 4

(b) “Existe pelo menos um número primo diferente de dois que é ímpar.”
Tradução lógica:
\exists x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2 \wedge I(x)\bigr).
Isto afirma apenas a existência de pelo menos um primo ímpar maior que 2. A frase original afirma que todos os primos diferentes de 2 são ímpares (afirmação universal). Uma universal não é logicamente equivalente a uma mera existência (ex.: se no universo houvesse apenas o primo 2, a original \forall x\;(P\wedge x\neq2\to I) seria verdadeira por vacuidade e a existencial seria falsa). Portanto (b) NÃO é equivalente.

Passo 5

(c) “Um número será ímpar se for primo e diferente de dois.”
Tradução natural:
\forall x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2 \to I(x)\bigr).
Isto é uma reformulação direta e clara da sentença original (só trocou a ordem das palavras). Logo (c) É equivalente à original.

Passo 6

(d) “Qualquer número primo diferente de dois é ímpar.”
Tradução:
\forall x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2 \to I(x)\bigr).
Frase idem à original (mesma forma universal condicional). Portanto (d) É equivalente.
(e) “Os números primos diferentes de dois são ímpares.”
Frase em linguagem de conjuntos: “Para todo x, se x pertence ao conjunto \{ \text{primos}\}\setminus\{2\} então x é ímpar.” Formal:
\forall x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2 \to I(x)\bigr).
Mesma coisa novamente. Portanto (e) É equivalente.

Passo 7

(f) “Não há nenhum primo diferente de dois que não seja ímpar.”
Tradução lógica:
\neg\exists x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2 \wedge \neg I(x)\bigr).
Usando a equivalência que citei antes, isto é exatamente equivalente a
\forall x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2 \to I(x)\bigr).
Logo (f) É equivalente à original. (Isto é útil: muitas vezes frases com “não existe” são exatamente a negação do contraexemplo e portanto equivalentes a universais do tipo “todo …”.)

Passo 8

(g) “Nenhum número primo é diferente de dois, a menos que seja ímpar.”
Interpretação de “a menos que”: “A, a menos que B” costuma ser formalizada como “se não B então A” (ou seja, \neg B \to A). A frase fica: “Nenhum primo é diferente de dois, a menos que seja ímpar” → “Se um primo não for ímpar, então ele não é diferente de dois” → formalmente:
\forall x\;\bigl(P(x)\wedge \neg I(x) \to x=2\bigr).
Reescrevendo x=2 como \neg(x\neq 2) e aplicando contraposição, isto equivale a:
\forall x\;\bigl(P(x)\wedge x\neq 2 \to I(x)\bigr).
Portanto (g) é apenas a contraposada/redenção da afirmação original e, assim, É equivalente.

Resposta

(c)
(d)
(e)
(f)
(g)

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