Exercício 15 Assinale quais frases têm o mesmo significado de:
“Todo número primo, diferente de dois, é um número ímpar.”
(a) Se algum número primo é diferente de dois, ele é ímpar.
(b) Existe pelo menos um número primo diferente de dois que é ímpar.
(c) Um número será ímpar se for primo e diferente de dois.
(d) Qualquer número primo diferente de dois é ímpar.
(e) Os números primos diferentes de dois são ímpares.
(f) Não há nenhum primo diferente de dois que não seja ímpar.
(g) Nenhum número primo é diferente de dois, a menos que seja ímpar.
“Todo número primo, diferente de dois, é um número ímpar.”
(a) Se algum número primo é diferente de dois, ele é ímpar.
(b) Existe pelo menos um número primo diferente de dois que é ímpar.
(c) Um número será ímpar se for primo e diferente de dois.
(d) Qualquer número primo diferente de dois é ímpar.
(e) Os números primos diferentes de dois são ímpares.
(f) Não há nenhum primo diferente de dois que não seja ímpar.
(g) Nenhum número primo é diferente de dois, a menos que seja ímpar.
Passo 1
O enunciado diz: “Todo número primo, diferente de dois, é um número ímpar.”
O que se pede: identificar quais das frases (a)–(g) têm exatamente o mesmo significado lógico que a frase acima.
O que se pede: identificar quais das frases (a)–(g) têm exatamente o mesmo significado lógico que a frase acima.
Informações relevantes dadas (coloquei em forma lógica para facilitar comparações):
- Seja
a propriedade “x é primo”. - Seja
a propriedade “x é ímpar”. - A condição “x é diferente de 2” escrevo
.
A frase original pode ser formalizada assim:
Passo 2
Pequena aula de lógica necessária (sem pular etapas):
- Símbolos e significado:
-
significa "para todo " (quantificador universal). -
significa "existe pelo menos um " (quantificador existencial). -
é a implicação "se então ". Lembre: a implicação é verdadeira sempre que é falso (isso gera casos de verdade por vacuidade). - A negação de
é . A negação de é . - A equivalência muito útil:
é logicamente equivalente a . Em palavras: "Para todo , se então " é o mesmo que "não existe tal que e não ". - A contraposada:
é equivalente a . Aplicada com quantificador universal: equivale a .
-
Exemplo rápido para fixar:
- A sentença
diz: “não existe primo (diferente de 2) que seja par” — isto é, .
Passo 3
Vou traduzir cada alternativa para forma lógica (ou explicar a ambiguidade) e comparar com a fórmula original.
(a) “Se algum número primo é diferente de dois, ele é ímpar.”
Interpretação natural da linguagem: a expressão “algum” costuma indicar existência ( ), por isso a frase é ambígua em português. Duas leituras possíveis:
Interpretação natural da linguagem: a expressão “algum” costuma indicar existência (
- Leitura existencial (mais natural): “Existe um número primo diferente de 2 tal que, se for considerado, ele é ímpar.” Isso tende a ser interpretado como
que é exatamente a sentença da alternativa (b) abaixo. Essa leitura NÃO é equivalente à original (porque a original é universal; a existencial pode ser falsa em modelos onde não existe tal , enquanto a universal pode ser verdadeira por vacuidade). - Leitura condicional universal (menos natural, mas possível): “Se um número é primo e diferente de 2, então ele é ímpar”, i.e.
que seria equivalente à original.
Conclusão para (a): a frase é ambígua; a leitura mais literal de “algum” implica existência, portanto em contexto lógico-testes não é equivalente. Assim, NÃO consideramos (a) equivalente (pela ambiguidade e pelo sentido mais natural de “algum”).
Passo 4
(b) “Existe pelo menos um número primo diferente de dois que é ímpar.”
Tradução lógica:
Tradução lógica:
Isto afirma apenas a existência de pelo menos um primo ímpar maior que 2. A frase original afirma que todos os primos diferentes de 2 são ímpares (afirmação universal). Uma universal não é logicamente equivalente a uma mera existência (ex.: se no universo houvesse apenas o primo 2, a original
seria verdadeira por vacuidade e a existencial seria falsa). Portanto (b) NÃO é equivalente.
Passo 5
(c) “Um número será ímpar se for primo e diferente de dois.”
Tradução natural:
Tradução natural:
Isto é uma reformulação direta e clara da sentença original (só trocou a ordem das palavras). Logo (c) É equivalente à original.
Passo 6
(d) “Qualquer número primo diferente de dois é ímpar.”
Tradução:
Tradução:
Frase idem à original (mesma forma universal condicional). Portanto (d) É equivalente.
(e) “Os números primos diferentes de dois são ímpares.”
Frase em linguagem de conjuntos: “Para todo , se
pertence ao conjunto
então
é ímpar.” Formal:
Frase em linguagem de conjuntos: “Para todo
Mesma coisa novamente. Portanto (e) É equivalente.
Passo 7
(f) “Não há nenhum primo diferente de dois que não seja ímpar.”
Tradução lógica:
Tradução lógica:
Usando a equivalência que citei antes, isto é exatamente equivalente a
Logo (f) É equivalente à original. (Isto é útil: muitas vezes frases com “não existe” são exatamente a negação do contraexemplo e portanto equivalentes a universais do tipo “todo …”.)
Passo 8
(g) “Nenhum número primo é diferente de dois, a menos que seja ímpar.”
Interpretação de “a menos que”: “A, a menos que B” costuma ser formalizada como “se não B então A” (ou seja, ). A frase fica: “Nenhum primo é diferente de dois, a menos que seja ímpar” → “Se um primo não for ímpar, então ele não é diferente de dois” → formalmente:
Interpretação de “a menos que”: “A, a menos que B” costuma ser formalizada como “se não B então A” (ou seja,
Reescrevendo
como
e aplicando contraposição, isto equivale a:
Portanto (g) é apenas a contraposada/redenção da afirmação original e, assim, É equivalente.
Resposta
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(d)
(e)
(f)
(g)